Estude o sinal das funções abaixo:
f(x)=-2 x+6

Passo 1

O enunciado pede que estudemos o sinal da função f dada por
f(x) = -2x + 6.
Ou seja, preciso determinar para quais valores de x a função é positiva ( f(x)>0), nula ( f(x)=0) ou negativa ( f(x)<0). Informações explícitas que já temos:
  • A função é linear e está escrita como f(x)=-2x+6.
  • O coeficiente de x (inclinação) é -2.
  • O termo independente (ordenada na origem) é 6.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar as raízes (zeros) da função — pontos onde f(x)=0. Resolver a equação
-2x+6=0.
Para resolver, subtrai-se 6 dos dois lados e depois divide-se por -2:
-2x = -6,
x = \frac{-6}{-2} = 3.
Portanto, f(3)=0. Esse ponto divide a reta em duas metades onde o sinal pode mudar.

Passo 3

Reescrevendo f em forma fatorada fica mais fácil ver o sinal:
f(x) = -2x+6 = -2(x-3).
Aqui se vê um produto entre a constante -2 e o fator (x-3).

Passo 4

Agora uma mini aula sobre sinais de produto (isso é útil nas provas):
  • Uma constante negativa ( -2) tem sempre sinal negativo.
  • O sinal de (x-3) depende de x: se x-3>0 então (x-3) é positivo; se x-3<0 então é negativo; se x=3 é zero.
  • O produto de um número negativo por outro número dá:
    • positivo se o outro número for negativo (negativo × negativo = positivo),
    • negativo se o outro número for positivo (negativo × positivo = negativo),
    • zero se o outro número for zero.
Aplicando isso a f(x)=-2(x-3):
  • Se x<3 então x-3<0. Produto: -2 (negativo) × (x-3) (negativo) = positivo. Logo f(x)>0 para x<3.
  • Se x=3 então x-3=0. Produto = 0. Logo f(3)=0.
  • Se x>3 então x-3>0. Produto: -2 (negativo) × (x-3) (positivo) = negativo. Logo f(x)<0 para x>3.

Passo 5

Vamos reforçar resolvendo desigualdades diretamente (isso mostra um passo algébrico que costuma cair em prova). Resolver f(x)>0:
-2x+6>0.
Subtrai-se 6:
-2x>-6.
Divide-se por -2. Lembrete importante: ao dividir uma desigualdade por um número negativo o sinal da desigualdade inverte-se:
x<3.
Isso confirma que f(x)>0 exatamente quando x<3.
Agora resolver f(x)<0:
-2x+6<0 \Rightarrow -2x<-6 \Rightarrow x>3,
novamente com inversão do sinal ao dividir por -2. Confirma f(x)<0 para x>3.

Passo 6

Testes rápidos para ganhar confiança (método prático na prova):
  • Escolher x=0 (que está em x<3): f(0)=-2\cdot0+6=6>0 — confere que à esquerda de 3 a função é positiva.
  • Escolher x=4 (que está em x>3): f(4)=-2\cdot4+6=-8+6=-2<0 — confere que à direita de 3 a função é negativa.

Passo 7

Resumo em forma de intervalo (jeito bem usado em provas):
  • f(x)>0 para x\in(-\infty,3).
  • f(x)=0 para x=3.
  • f(x)<0 para x\in(3,\infty).
Dica rápida para a prova: encontre a raiz x=3 e use o sinal da inclinação ( -2). Como a inclinação é negativa, a função decresce; portanto é positiva à esquerda da raiz e negativa à direita — é um atalho mental que evita cálculos extras.

Resposta

f(x)>0 para x<3
f(x)=0 para x=3
f(x)<0 para x>3

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