Estude o sinal das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que estudemos o sinal da função
dada por
Ou seja, preciso determinar para quais valores de
a função é positiva (
), nula (
) ou negativa (
). Informações explícitas que já temos:
- A função é linear e está escrita como
. - O coeficiente de
(inclinação) é . - O termo independente (ordenada na origem) é
.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar as raízes (zeros) da função — pontos onde
. Resolver a equação
Para resolver, subtrai-se
dos dois lados e depois divide-se por
:
Portanto,
. Esse ponto divide a reta em duas metades onde o sinal pode mudar.
Passo 3
Reescrevendo
em forma fatorada fica mais fácil ver o sinal:
Aqui se vê um produto entre a constante
e o fator
.
Passo 4
Agora uma mini aula sobre sinais de produto (isso é útil nas provas):
- Uma constante negativa (
) tem sempre sinal negativo. - O sinal de
depende de : se então é positivo; se então é negativo; se é zero. - O produto de um número negativo por outro número dá:
- positivo se o outro número for negativo (negativo × negativo = positivo),
- negativo se o outro número for positivo (negativo × positivo = negativo),
- zero se o outro número for zero.
Aplicando isso a
:
- Se
então . Produto: (negativo) × (negativo) = positivo. Logo para . - Se
então . Produto = . Logo . - Se
então . Produto: (negativo) × (positivo) = negativo. Logo para .
Passo 5
Vamos reforçar resolvendo desigualdades diretamente (isso mostra um passo algébrico que costuma cair em prova). Resolver
:
Subtrai-se
:
Divide-se por
. Lembrete importante: ao dividir uma desigualdade por um número negativo o sinal da desigualdade inverte-se:
Isso confirma que
exatamente quando
.
Agora resolver
:
novamente com inversão do sinal ao dividir por
. Confirma
para
.
Passo 6
Testes rápidos para ganhar confiança (método prático na prova):
- Escolher
(que está em ): — confere que à esquerda de a função é positiva. - Escolher
(que está em ): — confere que à direita de a função é negativa.
Passo 7
Resumo em forma de intervalo (jeito bem usado em provas):
-
para . -
para . -
para .
Dica rápida para a prova: encontre a raiz
e use o sinal da inclinação (
). Como a inclinação é negativa, a função decresce; portanto é positiva à esquerda da raiz e negativa à direita — é um atalho mental que evita cálculos extras.