Sabe-se que a vida de lâmpadas elétricas tem distribuição aproximadamente exponencial, com vida média de 1000,0 horas. Determine a porcentagem das lâmpadas que queimarão antes de:
b) 1000,0 horas
b) 1000,0 horas
Passo 1
O enunciado pede a porcentagem de lâmpadas que irão queimar antes de
horas, sabendo que a vida das lâmpadas é aproximadamente exponencial com vida média igual a
horas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável tempo de vida
tem distribuição exponencial com média horas. - A pergunta é calcular
, e expressar esse resultado em porcentagem.
Passo 2
O que é a distribuição exponencial e quais fórmulas vamos usar (explicação didática):
- A distribuição exponencial é usada para modelar tempos até um evento (aqui: queima de lâmpadas) quando a taxa de ocorrência é constante no tempo.
- Ela tem um parâmetro
chamado de taxa (unidade: horas^{-1}). A relação entre a média e é
- A função de distribuição acumulada (CDF), que dá
, é
Isto significa: a probabilidade de que a lâmpada queime antes do tempo
é
menos a probabilidade de que ela ainda sobreviva até
, e a probabilidade de sobreviver até
é
. É bom decorar essas fórmulas para a prova.
Passo 3
Calcular o parâmetro
a partir da média dada:
Passo 4
Aplicar a fórmula da CDF para
:
Substituindo
:
Passo 5
Avaliar numericamente
e converter para porcentagem (explicando como fazer sem calculadora):
- Sabe-se que
. Se não tiver calculadora, memorize que é um valor útil. - Portanto
- Convertendo para porcentagem multiplicando por
:
Arredondando de forma usual para duas casas decimais fica
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova:
- A resposta diz que aproximadamente
das lâmpadas vão queimar antes de horas. Intuitivamente isso faz sentido: na distribuição exponencial a mediana é menor que a média; em particular a probabilidade de que o tempo seja menor que a média é maior que — aqui cerca de . - Dica prática: para qualquer questão desse tipo memorize as duas fórmulas principais
e ; com elas resolve rapidinho na prova.