Sabe-se que a vida de lâmpadas elétricas tem distribuição aproximadamente exponencial, com vida média de 1000,0 horas. Determine a porcentagem das lâmpadas que queimarão antes de:
b) 1000,0 horas

Passo 1

O enunciado pede a porcentagem de lâmpadas que irão queimar antes de 1000{,}0 horas, sabendo que a vida das lâmpadas é aproximadamente exponencial com vida média igual a 1000{,}0 horas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável tempo de vida X tem distribuição exponencial com média \mu = 1000{,}0 horas.
  • A pergunta é calcular P(X<1000{,}0), e expressar esse resultado em porcentagem.

Passo 2

O que é a distribuição exponencial e quais fórmulas vamos usar (explicação didática):
  • A distribuição exponencial é usada para modelar tempos até um evento (aqui: queima de lâmpadas) quando a taxa de ocorrência é constante no tempo.
  • Ela tem um parâmetro \lambda>0 chamado de taxa (unidade: horas^{-1}). A relação entre a média \mu e \lambda é
\lambda=\frac{1}{\mu}.
  • A função de distribuição acumulada (CDF), que dá P(X<t), é
F(t)=1-e^{-\lambda t}.
Isto significa: a probabilidade de que a lâmpada queime antes do tempo t é 1 menos a probabilidade de que ela ainda sobreviva até t, e a probabilidade de sobreviver até t é e^{-\lambda t}. É bom decorar essas fórmulas para a prova.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda a partir da média dada:
\mu=1000{,}0\\ \text{horas}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{1000{,}0}=0{,}001\\ \text{horas}^{-1}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da CDF para t=1000{,}0:
P(X<1000{,}0)=F(1000{,}0)=1-e^{-\lambda\cdot1000{,}0}.
Substituindo \lambda=0{,}001:
P(X<1000{,}0)=1-e^{-0{,}001\cdot1000{,}0}=1-e^{-1}.

Passo 5

Avaliar numericamente e^{-1} e converter para porcentagem (explicando como fazer sem calculadora):
  • Sabe-se que e^{-1}\approx0{,}3678794412. Se não tiver calculadora, memorize que e^{-1}\approx0{,}3679 é um valor útil.
  • Portanto
P(X<1000{,}0)=1-0{,}367879\dots\approx0{,}632120\dots
  • Convertendo para porcentagem multiplicando por 100:
0{,}632120\dots\times100\% \approx 63{,}212\%\!.
Arredondando de forma usual para duas casas decimais fica 63{,}21\%.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova:
  • A resposta diz que aproximadamente 63{,}21\% das lâmpadas vão queimar antes de 1000{,}0 horas. Intuitivamente isso faz sentido: na distribuição exponencial a mediana é menor que a média; em particular a probabilidade de que o tempo seja menor que a média é maior que 50\% — aqui cerca de 63\%.
  • Dica prática: para qualquer questão desse tipo memorize as duas fórmulas principais \lambda=1/\mu e F(t)=1-e^{-\lambda t}; com elas resolve rapidinho na prova.

Resposta

63{,}21\%

Exercícios relacionados