Estude a variação das funções abaixo:
f(x)=x \sqrt{1-x}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação da função
f(x)=x\sqrt{1-x}.
Vamos precisar de três coisas básicas de análise de funções:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Calcular a derivada f'(x) (usando a regra do produto e a derivada de \sqrt{1-x}).
  3. Analisar o sinal de f'(x) para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e o ponto crítico.

Passo 2

Para achar o domínio, note que \sqrt{1-x} só faz sentido real se
1-x\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\le 1.
Não há outra restrição (o x em frente pode ser qualquer real). Logo o domínio é
D = (-\infty,1].

Passo 3

Vamos usar a regra do produto. Escrevemos
f(x) = x\cdot (1-x)^{1/2}.
Então
f'(x) = 1\cdot(1-x)^{1/2} + x\cdot\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\cdot(-1).
Isso dá
f'(x) = \sqrt{1-x} \;-\;\frac{x}{2\sqrt{1-x}}.
Colocando em forma única:
f'(x) = \frac{(1-x)-\tfrac{x}{2}}{\sqrt{1-x}} = \frac{1 - x - \tfrac{x}{2}}{\sqrt{1-x}} = \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}.

Passo 4

O denominador 2\sqrt{1-x} é positivo em todo x<1. Então o sinal de f'(x) vem do numerador 2-3x.
Resolvendo 2-3x=0 obtém-se
x = \frac{2}{3}.
Para x<\tfrac{2}{3}, tem-se 2-3x>0 logo f'(x)>0.
Para \tfrac{2}{3}<x<1, tem-se 2-3x<0 logo f'(x)<0.

Passo 5

Com base no sinal de f'(x):
  • f é crescente em (-\infty,\tfrac{2}{3}).
  • f é decrescente em (\tfrac{2}{3},1).
    No ponto x=\tfrac{2}{3} temos um máximo local (e, de fato, global no domínio). O valor ali é
f\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr) = \frac{2}{3}\,\sqrt{1-\tfrac{2}{3}} = \frac{2}{3}\,\sqrt{\tfrac{1}{3}} = \frac{2}{3}\,\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}.

Resposta

Cresce em (-\infty,\tfrac{2}{3}) e decresce em (\tfrac{2}{3},1).
Tem máximo em x=\tfrac{2}{3} de valor f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{2\sqrt{3}}{9}.

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