Encontre a solução geral da equação diferencial
Resposta: y(x)=a_{0}+a_{1}\left(x+\frac{x{3}}{6}+\frac{x{5}}{40}+\frac{x^{7}}{336}+···\right)+\left(\frac{3 x{5}}{5}+\frac{x{7}}{14}+···\right)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
que é uma EDO não homogênea com coeficiente variável. Vamos usar o método da série de potências em torno de
, isto é, supor
encontrar uma relação de recorrência entre os
e, a partir dela, obter a parte homogênea (com duas constantes arbitrárias) e uma particular em série.
Passo 2
Escrevendo as derivadas em série:
Substituindo em
e reindexando para termos potências de
:
Logo, para cada
vale
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 3
Para
a parte direita é zero, dando a recorrência
Em particular, para
vem
e disso se segue, por iterações, que todos os coeficientes de índice par maiores que zero são nulos:
Permanece
livre, que dará a primeira constante de integração.
Passo 4
Agora olhemos aos termos ímpares. Para
(e
) temos
Para
a parte não homogênea entra e obtemos
Para
(fora o caso
) a recorrência pura gera
Se tomarmos a parte homogênea isoladamente, ou seja, colocarmos
em
, obtemos a série
com as duas constantes
e
.
Passo 5
Para extrair uma solução particular, anulamos a constante
(e mantemos
, pois esse termo já está na homogênea) e calculamos os coeficientes ímpares não nulos vindos de
. Assim
e a parte particular em série fica
Passo 6
Somando a homogênea e a particular, a solução geral é