Encontre a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=12 x^{3}
Resposta: y(x)=a_{0}+a_{1}\left(x+\frac{x{3}}{6}+\frac{x{5}}{40}+\frac{x^{7}}{336}+···\right)+\left(\frac{3 x{5}}{5}+\frac{x{7}}{14}+···\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y'' - x\,y' = 12\,x^{3}
que é uma EDO não homogênea com coeficiente variável. Vamos usar o método da série de potências em torno de x=0, isto é, supor
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
encontrar uma relação de recorrência entre os a_{n} e, a partir dela, obter a parte homogênea (com duas constantes arbitrárias) e uma particular em série.

Passo 2

Escrevendo as derivadas em série:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2}.
Substituindo em y'' - x\,y' =12x^{3} e reindexando para termos potências de x^{m}:
\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}\,x^{m} \;-\; \sum_{m=0}^{\infty}m\,a_{m}\,x^{m} \;=\; 12\,x^{3}.
Logo, para cada m\ge0 vale
(m+2)(m+1)\,a_{m+2}\;-\;m\,a_{m} \;=\; 12\,\delta_{m,3},
onde \delta_{m,3} é o delta de Kronecker.

Passo 3

Para m\neq3 a parte direita é zero, dando a recorrência
a_{m+2} = \frac{m}{(m+2)(m+1)}\,a_{m}.
Em particular, para m=0 vem
a_{2}=\frac{0}{2\cdot1}a_{0}=0,
e disso se segue, por iterações, que todos os coeficientes de índice par maiores que zero são nulos:
a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots=0.
Permanece a_{0} livre, que dará a primeira constante de integração.

Passo 4

Agora olhemos aos termos ímpares. Para m=1 (e m\neq3) temos
a_{3} = \frac{1}{3\cdot2}\,a_{1} = \frac{a_{1}}{6}.
Para m=3 a parte não homogênea entra e obtemos
20\,a_{5}-3\,a_{3}=12 \quad\Longrightarrow\quad a_{5} = \frac{3\,a_{3}+12}{20} = \frac{3\,a_{1}}{120}+\frac{12}{20} = \frac{a_{1}}{40}+\frac{3}{5}.
Para m=5,7,\dots (fora o caso m=3) a recorrência pura gera
a_{m+2} = \frac{m}{(m+2)(m+1)}\,a_{m}.
Se tomarmos a parte homogênea isoladamente, ou seja, colocarmos 12=0 em m=3, obtemos a série
y_{h}(x) = a_{0} \;+\; a_{1}\Bigl(x+\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{5}}{40}+\tfrac{x^{7}}{336}+\cdots\Bigr),
com as duas constantes a_{0} e a_{1}.

Passo 5

Para extrair uma solução particular, anulamos a constante a_{1} (e mantemos a_{0}=0, pois esse termo já está na homogênea) e calculamos os coeficientes ímpares não nulos vindos de m=3. Assim
a_{5}=\frac{3}{5},\quad a_{7}=\frac{5}{7\cdot6}\,a_{5}=\frac{1}{14},\quad a_{9}=\frac{7}{9\cdot8}\,a_{7}=\cdots
e a parte particular em série fica
y_{p}(x) = \frac{3}{5}\,x^{5} \;+\; \frac{1}{14}\,x^{7} \;+\;\cdots.

Passo 6

Somando a homogênea e a particular, a solução geral é
y(x) = a_{0} \;+\; a_{1}\Bigl(x+\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{5}}{40}+\tfrac{x^{7}}{336}+\cdots\Bigr) \;+\; \Bigl(\tfrac{3}{5}\,x^{5}+\tfrac{1}{14}\,x^{7}+\cdots\Bigr).

Resposta

y(x) = a_{0} + a_{1}\Bigl(x+\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{5}}{40}+\tfrac{x^{7}}{336}+\ldots\Bigr) +\Bigl(\tfrac{3\,x^{5}}{5}+\tfrac{x^{7}}{14}+\ldots\Bigr).

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