Em um estúdio de gravação profissional, um cantor emite uma nota musical senoidal sustentada. Um engenheiro de som utiliza um medidor de pressão acústica posicionado próximo ao microfone e registra que a variação máxima de pressão da onda (amplitude de pressão \mathrm{P}_{\text {máx }}á é de 5,0 \times 10^{-2} \mathrm{~Pa} acima e abaixo da pressão atmosférica local. Considerando que o estúdio está climatizado a uma temperatura em que a densidade do ar é \rho=1,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a velocidade de propagação do som é \mathrm{v}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a intensidade física (I) dessa onda sonora em watts por metro quadrado ( \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} ).
(Esta questão é semelhante ao exemplo 16.5 do capítulo 16).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes valores do enunciado):
  • amplitude de pressão (variação máxima): \mathrm{P}_{\text{máx}} = 5,0 \times 10^{-2}\\ \mathrm{Pa}á,
  • densidade do ar: \rho = 1,20\\ \mathrm{kg/m^3},
  • velocidade do som no ar: v = 340\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede: calcular a intensidade física média I da onda sonora em \mathrm{W/m^2}.

Passo 2

Vamos entender as relações que ligam pressão, velocidade de partícula e intensidade para uma onda sonora senoidal progressiva (uma explicação passo a passo e sem pular etapas).
  • Para uma onda sonora harmônica unidimensional, a pressão acústica instantânea pode ser escrita como p(t)=p_{\max}\sin(\omega t - kx), onde p_{\max} é a amplitude de pressão.
    Aqui \omega é a frequência angular, k é o número de onda, t é o tempo e x a posição. Não é preciso conhecer \omega ou k para a intensidade média.
  • A velocidade de partícula instantânea tem forma semelhante: u(t)=u_{\max}\sin(\omega t - kx), com u_{\max} a amplitude da velocidade de partícula.
  • Para uma onda plana em um meio homogêneo há uma relação simples entre as amplitudes: p_{\max} = \rho\, v\, u_{\max},onde
    • p_{\max} é a amplitude de pressão (unidade: \mathrm{Pa}),
    • \rho é a densidade do meio (unidade: \mathrm{kg/m^3}),
    • v é a velocidade de propagação do som (unidade: \mathrm{m/s}),
    • u_{\max} é a amplitude da velocidade das partículas do ar (unidade: \mathrm{m/s}).
      Essa relação vem das equações de onda linearizadas para um fluido e diz que a pressão máxima está ligada à máxima perturbação de velocidade pelas propriedades do meio.
  • A intensidade instantânea (fluxo de energia por área) é o produto i(t)=p(t)\,u(t). A intensidade média no tempo I (que é a que interessa, pois os instrumentos medem potência média) é a média temporal de i(t) ao longo de um ciclo. Para sinais senoidais com mesmo argumento de fase, I = \langle p(t)\,u(t)\rangle = \frac{1}{2}\,p_{\max}\,u_{\max}.Isso porque a média de \sin^2 é 1/2 e a média de \sin\cdot\sin com mesma fase dá 1/2.
  • Substituindo u_{\max} = \dfrac{p_{\max}}{\rho v} na expressão da intensidade média obtemos a fórmula prática: I = \frac{p_{\max}^2}{2\,\rho\,v}.Esta fórmula é muito útil: com a amplitude de pressão e as propriedades do ar podemos achar diretamente a intensidade média.

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula com os valores fornecidos. Primeiro, calcule p_{\max}^2:
p_{\max}^2 = \left(5,0\times10^{-2}\right)^2 = 2,5\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa^2}.
Calcule o denominador 2\,\rho\,v:
2\,\rho\,v = 2 \times 1,20 \times 340 = 816\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg/(m^2\\ s)}).
Agora a intensidade:
I = \frac{p_{\max}^2}{2\,\rho\,v} = \frac{2,5\times10^{-3}}{816}.
Fazendo a divisão:
\frac{2,5\times10^{-3}}{816} = 3,06\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Interpretação curta e encorajamento: o valor encontrado é a intensidade média da onda sonora perto do microfone. É um número bem pequeno (ordem de 10^{-6}\,\mathrm{W/m^2}), o que é típico para sons de nível moderado em estúdios. Boa! Está indo bem — nessa prova essa conta é direta se lembrar da fórmula.

Resposta

I = 3,06\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2}

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