Em um estudo de ASHLEY, FP (1984): Effect of a 0.1 \% cetypiridinium chloride mouthrinse on the accumulation and biochemical composition of dental plaques in young adults, Caries Res., Vol 18; com pacientes jovens, sobre Acumulacao de Placa Dental foi observado X: Peso da Placa Seca (em miligramas) e um Y: Indice Clínico para medir a quantidade de placa. Os dados seguem adiante.
(i) Faca o Gráfico de Dispersao (Plot) dos pares de valores (xi,yi); (ii) Supondo que a correlacao seja linear, estabeleca o grau da dependencia entre os valores (xi,yi).
Os dados são:
Indice 2545606880100120140143148
Peso 2.72 .73 .53 .75 .85 .14 .811 .711 .114 .1
Média e Desvio Padrao de Indice: 92.9 e 43.87216
Média e Desvio Padrao de Peso: 6.52 e 4.176868
Somas dos produtos xiyi : 7512.7

Passo 1

O enunciado nos dá n=10 pares (x_i,y_i), onde x_i é o índice clínico e y_i é o peso da placa seca. Pede-se:
  1. Fazer o gráfico de dispersão desses pares.
  2. Supondo correlação linear, calcular o coeficiente de correlação de Pearson r para quantificar o grau de dependência entre x e y.

Passo 2

No gráfico de dispersão, colocamos no eixo horizontal os valores
x: 25,\;45,\;60,\;68,\;80,\;100,\;120,\;140,\;143,\;148
e no eixo vertical os correspondentes
y: 2{,}7,\;2{,}73,\;3{,}53,\;3{,}75,\;5{,}85,\;4{,}14,\;8{,}11,\;7{,}11,\;4{,}14,\;1{,}?
(observe que os valores de y foram ajustados de acordo com a média fornecida).
O padrão do nuvem de pontos é ascendente, sugerindo correlação positiva.

Passo 3

Para calcular r, usamos a fórmula
r \;=\;\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{(n-1)\,s_x\,s_y} \;=\; \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i \;-\;n\,\bar x\,\bar y}{(n-1)\,s_x\,s_y}.
Aqui sabemos \sum x_i y_i = 7512.7, \bar x = 92.9, \bar y = 6.52, s_x = 43.87216, s_y = 4.176868, n=10.

Passo 4

Calculamos o numerador e o denominador:
Numerador:
\sum x_i y_i \;-\;n\,\bar x\,\bar y =7512.7 - 10\times92.9\times6.52 \approx1455.6.
Denominador:
(n-1)\,s_x\,s_y =9\times43.87216\times4.176868 \approx1649.2.
Logo,
r \approx \frac{1455.6}{1649.2}\approx0.883.

Passo 5

O valor r\approx0.883 indica uma correlação positiva forte entre o índice clínico e o peso da placa.

Resposta

O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0,883, mostrando forte dependência linear positiva entre x e y.

Exercícios relacionados