Um estudo conduzido pela Associação Brasileira de Varejo revelou padrões distintos de comportamento entre homens e mulheres ao realizar compras em estabelecimentos comerciais. A pesquisa investigou o uso de um cartão de crédito específico entre consumidores que compraram em lojas físicas e virtuais.
Dos 468 registros de compras feitas por mulheres, 131 utilizaram esse cartão de crédito. Já entre os 237 registros de compras feitas por homens, 57 utilizaram o mesmo cartão. O objetivo é verificar se há evidências estatísticas que indiquem uma diferença significativa entre as proporções de uso do cartão por gênero.
Utilize um nível de significância de
.
a) Construa um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de mulheres e homens que utilizam o cartão de crédito.
b) Realize um teste de hipótese para determinar se existe diferença significativa entre essas proporções.
Dos 468 registros de compras feitas por mulheres, 131 utilizaram esse cartão de crédito. Já entre os 237 registros de compras feitas por homens, 57 utilizaram o mesmo cartão. O objetivo é verificar se há evidências estatísticas que indiquem uma diferença significativa entre as proporções de uso do cartão por gênero.
Utilize um nível de significância de
a) Construa um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de mulheres e homens que utilizam o cartão de crédito.
b) Realize um teste de hipótese para determinar se existe diferença significativa entre essas proporções.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
- Número de compras feitas por mulheres:
. - Número de compras feitas por homens:
. - Número de compras em que mulheres usaram o cartão:
. - Número de compras em que homens usaram o cartão:
. - Nível de significância:
.
Perguntas:
a) Construir um intervalo de confiança para a diferença entre a proporção de mulheres e a proporção de homens que utilizam o cartão (isto é, para ,).
b) Realizar um teste de hipótese para verificar se há diferença significativa entre essas proporções (teste bilaterial com ).
a) Construir um intervalo de confiança para a diferença entre a proporção de mulheres e a proporção de homens que utilizam o cartão (isto é, para
b) Realizar um teste de hipótese para verificar se há diferença significativa entre essas proporções (teste bilaterial com
Passo 2
Calcular as estimativas amostrais das proporções (essas são as proporções observadas na amostra; vou chamá‑las de
e
).
Cálculos:
Avaliação numérica:
Diferença observada:
Passo 3
Verificar se podemos usar a aproximação normal para proporções (condição de normalidade):
- Precisamos que
, , e sejam todos maiores ou iguais a 5.
Cálculos:
Conclusão: as condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal para construir o intervalo e para o teste.
Passo 4
Construção do intervalo de confiança para
.
Fórmula geral do intervalo de confiança de nível de confiança
para a diferença entre duas proporções independentes:
Explicação dos termos:
-
e são as proporções amostrais já calculadas. -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa em cada cauda; para temos . - A raiz quadrada é o erro padrão (desvio padrão da diferença das proporções amostrais).
Passo 5
Calcular o erro padrão e o intervalo numericamente.
Primeiro o termo dentro da raiz (cada parcela):
Somando:
Erro padrão:
Margem de erro (com
):
Intervalo de confiança:
Portanto:
Interpretação prática rápida: o intervalo contém zero, o que indica que a diferença observada pode ser compatível com ausência de diferença de proporções na população.
Passo 6
Definir o teste de hipóteses (parte b) e explicar a escolha do procedimento.
Hipóteses:
(este é um teste bilateral).
Para o teste
é comum usar a proporção agregada (pool) na estimativa do erro padrão, porque sob
as duas amostras vêm da mesma proporção populacional
. O estimador pooled é:
O estatístico de teste
é:
A partir de
calculamos o p‑valor bilateral
, onde
é a função distribuição acumulada da Normal padrão.
Passo 7
Calcular a proporção pooled, o erro padrão pooled, o estatístico
e o p‑valor.
Proporção pooled:
Termo
:
Fator
:
Erro padrão pooled:
Estatístico
:
P‑valor bilateral:
Usando a Normal padrão, , então
Usando a Normal padrão,
Passo 8
Tomada de decisão e interpretação.
Comparação com o nível de significância:
-
. Logo não rejeitamos .
Interpretação em linguagem simples e encorajadora:
- Com os dados fornecidos e ao nível de significância de
, não há evidência estatística suficiente para afirmar que a proporção de uso do cartão difere entre mulheres e homens. Em termos práticos, a diferença observada nas amostras ( ) pode ser atribuída ao acaso amostral. - Observação consistente: o intervalo de confiança de
para , que é aproximadamente , contém o zero, confirmando a conclusão do teste.
Resposta
a)
\
b) Teste bilateral: ,
. Não rejeitamos
ao nível
; não há evidência estatística de diferença entre as proporções.
b) Teste bilateral: