Um estudo conduzido pela Associação Brasileira de Varejo revelou padrões distintos de comportamento entre homens e mulheres ao realizar compras em estabelecimentos comerciais. A pesquisa investigou o uso de um cartão de crédito específico entre consumidores que compraram em lojas físicas e virtuais.
Dos 468 registros de compras feitas por mulheres, 131 utilizaram esse cartão de crédito. Já entre os 237 registros de compras feitas por homens, 57 utilizaram o mesmo cartão. O objetivo é verificar se há evidências estatísticas que indiquem uma diferença significativa entre as proporções de uso do cartão por gênero.
Utilize um nível de significância de \alpha=0,05.
a) Construa um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de mulheres e homens que utilizam o cartão de crédito.
b) Realize um teste de hipótese para determinar se existe diferença significativa entre essas proporções.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
  • Número de compras feitas por mulheres: n_1 = 468.
  • Número de compras feitas por homens: n_2 = 237.
  • Número de compras em que mulheres usaram o cartão: x_1 = 131.
  • Número de compras em que homens usaram o cartão: x_2 = 57.
  • Nível de significância: \alpha = 0,05.
Perguntas:
a) Construir um intervalo de confiança para a diferença entre a proporção de mulheres e a proporção de homens que utilizam o cartão (isto é, para \,p_1-p_2,).
b) Realizar um teste de hipótese para verificar se há diferença significativa entre essas proporções (teste bilaterial com \alpha=0,05).

Passo 2

Calcular as estimativas amostrais das proporções (essas são as proporções observadas na amostra; vou chamá‑las de \hat{p}_1 e \hat{p}_2).
Cálculos:
\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{131}{468}
\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{57}{237}
Avaliação numérica:
\hat{p}_1 \approx 0,28034
\hat{p}_2 \approx 0,24051
Diferença observada:
\hat{p}_1 - \hat{p}_2 \approx 0,03984

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal para proporções (condição de normalidade):
  • Precisamos que n_1\hat{p}_1, n_1(1-\hat{p}_1), n_2\hat{p}_2 e n_2(1-\hat{p}_2) sejam todos maiores ou iguais a 5.
Cálculos:
n_1\hat{p}_1 = 468\cdot 0,28034 \approx 131 \quad(\text{ok})
n_1(1-\hat{p}_1) = 468\cdot 0,71966 \approx 337 \quad(\text{ok})
n_2\hat{p}_2 = 237\cdot 0,24051 \approx 57 \quad(\text{ok})
n_2(1-\hat{p}_2) = 237\cdot 0,75949 \approx 180 \quad(\text{ok})
Conclusão: as condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal para construir o intervalo e para o teste.

Passo 4

Construção do intervalo de confiança para \,p_1-p_2.
Fórmula geral do intervalo de confiança de nível de confiança 1-\alpha para a diferença entre duas proporções independentes:
\text{IC: }\; (\hat{p}_1-\hat{p}_2) \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}
Explicação dos termos:
  • \hat{p}_1 e \hat{p}_2 são as proporções amostrais já calculadas.
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 em cada cauda; para \alpha=0,05 temos z_{0,975}=1,96.
  • A raiz quadrada é o erro padrão (desvio padrão da diferença das proporções amostrais).

Passo 5

Calcular o erro padrão e o intervalo numericamente.
Primeiro o termo dentro da raiz (cada parcela):
\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} = \frac{0,28034\cdot(1-0,28034)}{468} \approx 0,0004306
\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2} = \frac{0,24051\cdot(1-0,24051)}{237} \approx 0,0007712
Somando:
\text{Var}(\hat{p}_1-\hat{p}_2) \approx 0,0004306 + 0,0007712 = 0,0012018
Erro padrão:
\text{SE} = \sqrt{0,0012018} \approx 0,03466
Margem de erro (com z_{0,975}=1,96):
\text{ME} = 1,96\cdot 0,03466 \approx 0,06793
Intervalo de confiança:
(\hat{p}_1-\hat{p}_2) \pm \text{ME} \approx 0,03984 \pm 0,06793
Portanto:
\text{IC}_{95\%} \approx \bigl(-0,02809,\;0,10777\bigr)
Interpretação prática rápida: o intervalo contém zero, o que indica que a diferença observada pode ser compatível com ausência de diferença de proporções na população.

Passo 6

Definir o teste de hipóteses (parte b) e explicar a escolha do procedimento.
Hipóteses:
H_0:\; p_1 = p_2
H_a:\; p_1 \neq p_2
(este é um teste bilateral).
Para o teste H_0: p_1=p_2 é comum usar a proporção agregada (pool) na estimativa do erro padrão, porque sob H_0 as duas amostras vêm da mesma proporção populacional p. O estimador pooled é:
\hat{p}_{\text{pool}} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}
O estatístico de teste z é:
z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_{\text{pool}}(1-\hat{p}_{\text{pool}})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}
A partir de z calculamos o p‑valor bilateral =2(1-\Phi(|z|)), onde \Phi é a função distribuição acumulada da Normal padrão.

Passo 7

Calcular a proporção pooled, o erro padrão pooled, o estatístico z e o p‑valor.
Proporção pooled:
\hat{p}_{\text{pool}} = \frac{131+57}{468+237} = \frac{188}{705} \approx 0,26667
Termo \hat{p}_{\text{pool}}(1-\hat{p}_{\text{pool}}):
0,26667\cdot(1-0,26667) \approx 0,19556
Fator \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right):
\frac{1}{468} + \frac{1}{237} \approx 0,00213675 + 0,00421941 = 0,00635616
Erro padrão pooled:
\text{SE}_{\text{pool}} = \sqrt{0,19556\cdot 0,00635616} \approx \sqrt{0,0012435} \approx 0,03527
Estatístico z:
z = \frac{0,03984}{0,03527} \approx 1,129
P‑valor bilateral:
Usando a Normal padrão, \Phi(1,129)\approx 0,8708, então
\text{p‑valor} = 2\bigl(1-\Phi(1,129)\bigr) \approx 2(1-0,8708) \approx 2(0,1292) \approx 0,2584

Passo 8

Tomada de decisão e interpretação.
Comparação com o nível de significância:
  • \text{p‑valor} \approx 0,2584 > \alpha = 0,05. Logo não rejeitamos H_0.
Interpretação em linguagem simples e encorajadora:
  • Com os dados fornecidos e ao nível de significância de 5\%, não há evidência estatística suficiente para afirmar que a proporção de uso do cartão difere entre mulheres e homens. Em termos práticos, a diferença observada nas amostras ( \approx 0,04) pode ser atribuída ao acaso amostral.
  • Observação consistente: o intervalo de confiança de 95\% para p_1-p_2, que é aproximadamente \bigl(-0,028,\;0,108\bigr), contém o zero, confirmando a conclusão do teste.

Resposta

a) \text{IC}_{95\%}(p_1-p_2)\approx \bigl(-0,02809,\;0,10777\bigr) \
b) Teste bilateral: z\approx 1,129, \text{p‑valor}\approx 0,2584. Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05; não há evidência estatística de diferença entre as proporções.

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