Diversos estudos econômicos se concentram em setores da economia onde uma parcela significativa do poder de mercado está concentrada nas mãos de poucas empresas. Há preocupações de que essas corporações dominantes possam manipular os preços em benefício próprio, gerando distorções no mercado e impactos negativos para os consumidores.
Para investigar essa hipótese, foram pareadas empresas de nove setores altamente concentrados com empresas de nove setores onde o poder econômico é mais distribuído. Os pares foram cuidadosamente selecionados, levando em conta fatores como concorrência internacional, estrutura de custos e outras variáveis que influenciam os preços.
O objetivo é verificar se os setores concentrados apresentam pressões inflacionárias mais intensas do que os setores menos concentrados. Os dados a seguir representam os aumentos percentuais médios de preços em cada setor, conforme identificado nas entrevistas com analistas de mercado.
Utilize os dados para construir um intervalo de confiança de 90 \% para a diferença média dos aumentos de preços e teste a hipótese de que os setores concentrados têm aumentos mais elevados. Use nível de significância de 10%.
Par Setor Concentrado (%) Setor Disperso (%) d_{i} d_{i}^{2}
1 3,7 3,2 0,5 0,25
2 4,1 3,7 0,4 0,16
3 2,1 2,6 -0,5 0,25
4 -0,9 0,1 -1,0 1,00
5 4,6 4,1 0,5 0,25
6 5,2 4,8 0,4 0,16
7 6,7 5,2 1,5 2,25
8 3,8 3,9 -0,1 0,01
9 4,9 4,6 0,3 0,09

Passo 1

O que o problema pede:
  • Construir um intervalo de confiança de 90\% para a diferença média dos aumentos de preços entre setores concentrados e setores dispersos (ou seja, para a média das diferenças \mu_d, onde cada diferença é d_i = aumento no setor concentrado menos aumento no setor disperso).
  • Testar, ao nível de significância de 10\%, a hipótese de que os setores concentrados têm aumentos mais elevados do que os dispersos (teste unilateral).
Informações fornecidas (extraídas da tabela do enunciado):
  • Número de pares: n=9.
  • As diferenças d_i estão na coluna d_i. A soma das diferenças, obtida da tabela, é \sum d_i = 2{,}0.
  • A soma dos quadrados das diferenças, também fornecida na tabela, é \sum d_i^{2} = 4{,}42.

Passo 2

Escolha do método e fórmula para a média amostral das diferenças:
  • Justificativa: os dados são pareados (cada par associa um setor concentrado a um setor disperso), então usamos o procedimento de amostras pareadas — isso reduz variabilidade por controle de fatores do par. Como n é pequeno e a variância populacional é desconhecida, usamos o teste t pareado (distribuição t de Student).
  • Fórmula da média amostral das diferenças:
\bar d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i.
  • Cálculo numérico:
\bar d = \frac{2{,}0}{9} = \frac{2}{9} \approx 0{,}2222.
Logo a média amostral das diferenças é \bar d \approx 0{,}2222 (pontos percentuais).

Passo 3

Cálculo da variância amostral e do desvio padrão das diferenças:
  • Fórmula útil (mais prática quando temos \sum d_i^2):
s_d^{2} = \frac{\sum d_i^{2} - n\bar d^{2}}{n-1}.
Aqui \sum d_i^{2}=4{,}42, n=9 e \bar d = 2/9. Então
n\bar d^{2} = 9\left(\frac{2}{9}\right)^{2} = 9\cdot\frac{4}{81} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9} \approx 0{,}4444.
Substituindo:
s_d^{2} = \frac{4{,}42 - 0{,}4444}{8} = \frac{3{,}9756}{8} \approx 0{,}49695.
Desvio padrão amostral:
s_d = \sqrt{s_d^{2}} \approx \sqrt{0{,}49695} \approx 0{,}7050.

Passo 4

Erro padrão da média das diferenças:
  • Fórmula:
\text{SE}(\bar d) = \frac{s_d}{\sqrt{n}}.
  • Cálculo:
\text{SE}(\bar d) = \frac{0{,}7050}{\sqrt{9}} = \frac{0{,}7050}{3} \approx 0{,}2350.

Passo 5

Construção do intervalo de confiança de 90\% para \mu_d:
  • Para um intervalo de confiança de 90\% usamos a t crítica com \alpha=0{,}10 e graus de liberdade df=n-1=8. Como o intervalo é bilateral, usamos t_{0{,}05,\,8}.
  • Valor crítico (tabela t de Student): t_{0{,}05,\,8}\approx 1{,}8595.
  • Fórmula do intervalo:
\bar d \pm t_{0{,}05,\,8}\cdot \text{SE}(\bar d).
  • Cálculo da margem:
\text{margem} = 1{,}8595 \times 0{,}2350 \approx 0{,}4369.
  • Limites do intervalo:
\text{limite inferior} = 0{,}2222 - 0{,}4369 \approx -0{,}2147,
\text{limite superior} = 0{,}2222 + 0{,}4369 \approx 0{,}6591.
Portanto o intervalo de confiança de 90\% para \mu_d é aproximadamente (-0{,}2147,\;0{,}6591) em pontos percentuais.
Interpretação rápida do intervalo: com 90\% de confiança, a verdadeira diferença média de aumentos (concentrado menos disperso) pode ser negativa até cerca de -0{,}215 ponto percentual ou positiva até cerca de 0{,}659 ponto percentual. Note que o intervalo contém zero.

Passo 6

Teste de hipótese (unilateral) — procedimentos e cálculos:
  • Hipóteses (formuladas para testar se setores concentrados têm aumentos maiores):
H_0:\\ \mu_d = 0 \qquad\text{vs}\qquad H_1:\\ \mu_d > 0.
(Alguns formulariam H_0:\mu_d\le 0 e H_1:\mu_d>0; usando a estatística padrão compararemos com 0.)
  • Estatística de teste:
t = \frac{\bar d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{\bar d}{\text{SE}(\bar d)}.
  • Substituindo os números:
t \approx \frac{0{,}2222}{0{,}2350} \approx 0{,}9455.
  • Valor crítico para o teste unilateral ao nível \alpha=0{,}10 com df=8: t_{0{,}10,\,8}\approx 1{,}397.
  • Decisão: como t \approx 0{,}9455 < 1{,}397, não rejeitamos H_0 ao nível de 10\%.
  • Também podemos estimar o p-valor unilateral: p \approx P(T_{8}>0{,}9455)\approx 0{,}184 (aproximado). Isso é maior que 0{,}10, confirmando que não há evidência suficiente para rejeitar H_0.
Interpretação em palavras: com os dados disponíveis e ao nível de significância de 10\%, não há evidência estatística suficiente para afirmar que, em média, os setores concentrados apresentam aumentos de preços maiores do que os setores dispersos.

Passo 7

Resumo final e interpretação prática:
  • O intervalo de confiança de 90\% inclui o zero, o que indica incerteza sobre a direção da diferença média: a diferença verdadeira pode ser ligeiramente negativa ou positiva, mas não podemos afirmar com confiança que seja positiva.
  • O teste unilateral também falha em rejeitar H_0 ao nível de 10\%: os dados não fornecem evidência estatística suficiente para concluir que setores concentrados têm aumentos de preços mais elevados.

Resposta

Intervalo de confiança de 90\% para \mu_d: \left(-0{,}2147\%,\;0{,}6591\%\right).
Teste (nível 10\%, H_0:\mu_d=0 vs H_1:\mu_d>0): não rejeita-se H_0; estatística t\approx0{,}9455; p-valor unilateral \approx0{,}184.

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