Uma empresa de perfuração está avaliando a eficiência de duas brocas utilizadas para escavar poços de até 34 metros de profundidade. O objetivo é determinar qual das duas ferramentas proporciona maior produtividade, medida pelo tempo necessário para concluir a perfuração.
A primeira broca foi utilizada em 12 operações, resultando em um tempo médio de perfuração de \bar{X}_{1}=27,3 horas, com desvio padrão s_{1}=8,7 horas. Já a segunda broca foi utilizada em 10 perfurações, com tempo médio de \bar{X}_{2}=31,7 horas e desvio padrão s_{2}=8,3 horas.
Deseja-se saber se há evidências de que uma das brocas é mais eficiente que a outra, considerando um nível de significância de \alpha=0,10. Não há indícios de que as variâncias populacionais sejam iguais.
a) Construa o intervalo de confiança apropriado para a diferença entre as médias de tempo de perfuração das duas brocas.
b) Com base nesse intervalo, é possível concluir que uma broca é mais eficiente que a outra? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) construir o intervalo de confiança apropriado para a diferença entre as médias dos tempos de perfuração das duas brocas; (b) avaliar, com base nesse intervalo, se é possível concluir que uma broca é mais eficiente que a outra, ao nível de significância \alpha=0,10.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
n_{1}=12,\quad \bar{X}_{1}=27,3,\quad s_{1}=8,7
n_{2}=10,\quad \bar{X}_{2}=31,7,\quad s_{2}=8,3
NÃO há indício de variâncias populacionais iguais (logo usaremos a fórmula que NÃO assume variâncias iguais). O nível de significância é \alpha=0,10, o que corresponde a um intervalo de confiança bilateral de 100\cdot(1-\alpha)\%=90\%.

Passo 2

Definição do parâmetro e da estimativa:
  • O parâmetro de interesse é a diferença entre as médias populacionais dos tempos: \mu_{1}-\mu_{2}, onde \mu_{1} é a média da primeira broca e \mu_{2} da segunda.
  • A estimativa pontual é a diferença entre as médias amostrais:
\hat{d}=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}=27,3-31,7=-4,4.
Isto significa que, na amostra, a primeira broca levou em média 4,4 horas a menos que a segunda (valor negativo indica que a primeira é mais rápida na amostra).

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (caso de variâncias desconhecidas e possivelmente desiguais — método de Welch):
\text{IC}_{1-\alpha}\text{ para } \mu_{1}-\mu_{2}:\qquad \hat{d}\pm t_{1-\alpha/2,\nu}\cdot \mathrm{SE}(\hat{d})
onde
\mathrm{SE}(\hat{d})=\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}
e os graus de liberdade aproximados \nu são dados pela fórmula de Welch (Satterthwaite):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}} {\dfrac{s_{1}^{4}}{n_{1}^{2}(n_{1}-1)}+\dfrac{s_{2}^{4}}{n_{2}^{2}(n_{2}-1)}}.
Agora vamos calcular cada termo numericamente, passo a passo.

Passo 4

Calcular variâncias amostrais e contribuições para o erro padrão:
s_{1}^{2}=8,7^{2}=75,69
s_{2}^{2}=8,3^{2}=68,89
\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{75,69}{12}=6,3075
\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{68,89}{10}=6,889
Somando:
\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=6,3075+6,889=13,1965.
Logo o erro padrão é
\mathrm{SE}(\hat{d})=\sqrt{13,1965}\approx 3,633.
Explicação breve do que isto significa: \mathrm{SE}(\hat{d}) é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral de \bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}. Na prova, calcule assim: soma das variâncias amostrais divididas pelos respectivos tamanhos e depois raiz quadrada.

Passo 5

Calcular os graus de liberdade \nu pela fórmula de Welch (mostro as contas para você reproduzir na prova):
Primeiro as potências:
s_{1}^{4}=75,69^{2}=5728,9761
s_{2}^{4}=68,89^{2}=4745,8321
Agora o denominador da fórmula de Welch:
\frac{s_{1}^{4}}{n_{1}^{2}(n_{1}-1)}=\frac{5728,9761}{12^{2}\cdot 11}=\frac{5728,9761}{1584}\approx 3,61705
\frac{s_{2}^{4}}{n_{2}^{2}(n_{2}-1)}=\frac{4745,8321}{10^{2}\cdot 9}=\frac{4745,8321}{900}\approx 5,27315
Somando:
\text{denom} \approx 3,61705+5,27315=8,89020.
Numerador (já vimos acima):
\left(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}=13,1965^{2}\approx 174,1476.
Portanto
\nu \approx \frac{174,1476}{8,89020}\approx 19,60.
Interpretação: usamos aproximadamente \nu\approx 19{,}6 graus de liberdade. Na prática, para obter t_{1-\alpha/2,\nu} consultamos a tabela t com \nu arredondado (por exemplo 19 ou 20) ou usamos software. Aqui vou usar o valor interpolado.

Passo 6

Valor crítico t_{1-\alpha/2,\nu} para intervalo de 90\% (ou seja, \alpha/2=0,05):
Com \nu\approx 19{,}6 obtemos aproximadamente
t_{0,95,\nu}\approx 1,727.
(Dica prática para prova: com \nu=19 tabela dá t\approx 1,729 e com \nu=20 t\approx 1,725; usar 1,73 está muito bem para cálculos à mão.)

Passo 7

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=t_{0,95,\nu}\cdot \mathrm{SE}(\hat{d})\approx 1,727\cdot 3,633\approx 6,27.
Agora construir o intervalo:
\hat{d}\pm \text{margem}=-4,4\pm 6,27.
Portanto os extremos do intervalo são
\text{limite inferior}=-4,4-6,27\approx -10,67
\text{limite superior}=-4,4+6,27\approx 1,87.

Passo 8

Interpretação do intervalo de confiança:
O intervalo de 90\% para \mu_{1}-\mu_{2} ficou aproximadamente
(-10,67;\;1,87).
Isso significa: com 90\% de confiança, a verdadeira diferença entre as médias \mu_{1}-\mu_{2} está entre -10,67 horas e 1,87 horas.
Como zero está dentro desse intervalo (ou seja, 0\in[-10,67,\,1,87]), não há evidência estatística suficiente, ao nível \alpha=0,10, para afirmar que as médias de tempo são diferentes. Em termos de eficiência: uma broca seria mais eficiente se sua média de tempo fosse significativamente menor. Aqui, como o intervalo inclui valores negativos (favoráveis à primeira broca) e positivos (favoráveis à segunda broca), não podemos concluir que haja diferença de eficiência entre as brocas com o nível de confiança pedido.

Resposta

(a) \, \text{IC de }90\%\text{ para } \mu_{1}-\mu_{2}: \;(-10,67;\;1,87)\n
(b) Não. O intervalo contém o zero, logo não há evidências suficientes, ao nível \alpha=0,10, para concluir que uma broca seja mais eficiente que a outra.

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