Uma empresa de perfuração está avaliando a eficiência de duas brocas utilizadas para escavar poços de até 34 metros de profundidade. O objetivo é determinar qual das duas ferramentas proporciona maior produtividade, medida pelo tempo necessário para concluir a perfuração.
A primeira broca foi utilizada em 12 operações, resultando em um tempo médio de perfuração de
horas, com desvio padrão
horas. Já a segunda broca foi utilizada em 10 perfurações, com tempo médio de
horas e desvio padrão
horas.
Deseja-se saber se há evidências de que uma das brocas é mais eficiente que a outra, considerando um nível de significância de
. Não há indícios de que as variâncias populacionais sejam iguais.
a) Construa o intervalo de confiança apropriado para a diferença entre as médias de tempo de perfuração das duas brocas.
b) Com base nesse intervalo, é possível concluir que uma broca é mais eficiente que a outra? Justifique sua resposta.
A primeira broca foi utilizada em 12 operações, resultando em um tempo médio de perfuração de
Deseja-se saber se há evidências de que uma das brocas é mais eficiente que a outra, considerando um nível de significância de
a) Construa o intervalo de confiança apropriado para a diferença entre as médias de tempo de perfuração das duas brocas.
b) Com base nesse intervalo, é possível concluir que uma broca é mais eficiente que a outra? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) construir o intervalo de confiança apropriado para a diferença entre as médias dos tempos de perfuração das duas brocas; (b) avaliar, com base nesse intervalo, se é possível concluir que uma broca é mais eficiente que a outra, ao nível de significância
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
NÃO há indício de variâncias populacionais iguais (logo usaremos a fórmula que NÃO assume variâncias iguais). O nível de significância é
, o que corresponde a um intervalo de confiança bilateral de
.
Passo 2
Definição do parâmetro e da estimativa:
- O parâmetro de interesse é a diferença entre as médias populacionais dos tempos:
, onde é a média da primeira broca e da segunda. - A estimativa pontual é a diferença entre as médias amostrais:
Isto significa que, na amostra, a primeira broca levou em média
horas a menos que a segunda (valor negativo indica que a primeira é mais rápida na amostra).
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança (caso de variâncias desconhecidas e possivelmente desiguais — método de Welch):
onde
e os graus de liberdade aproximados
são dados pela fórmula de Welch (Satterthwaite):
Agora vamos calcular cada termo numericamente, passo a passo.
Passo 4
Calcular variâncias amostrais e contribuições para o erro padrão:
Somando:
Logo o erro padrão é
Explicação breve do que isto significa:
é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral de
. Na prova, calcule assim: soma das variâncias amostrais divididas pelos respectivos tamanhos e depois raiz quadrada.
Passo 5
Calcular os graus de liberdade
pela fórmula de Welch (mostro as contas para você reproduzir na prova):
Primeiro as potências:
Primeiro as potências:
Agora o denominador da fórmula de Welch:
Somando:
Numerador (já vimos acima):
Portanto
Interpretação: usamos aproximadamente
graus de liberdade. Na prática, para obter
consultamos a tabela t com
arredondado (por exemplo 19 ou 20) ou usamos software. Aqui vou usar o valor interpolado.
Passo 6
Valor crítico
para intervalo de
(ou seja,
):
Com obtemos aproximadamente
Com
(Dica prática para prova: com
tabela dá
e com
dá
; usar
está muito bem para cálculos à mão.)
Passo 7
Calcular a margem de erro:
Agora construir o intervalo:
Portanto os extremos do intervalo são
Passo 8
Interpretação do intervalo de confiança:
O intervalo de para
ficou aproximadamente
O intervalo de
Isso significa: com
de confiança, a verdadeira diferença entre as médias
está entre
horas e
horas.
Como zero está dentro desse intervalo (ou seja,
), não há evidência estatística suficiente, ao nível
, para afirmar que as médias de tempo são diferentes. Em termos de eficiência: uma broca seria mais eficiente se sua média de tempo fosse significativamente menor. Aqui, como o intervalo inclui valores negativos (favoráveis à primeira broca) e positivos (favoráveis à segunda broca), não podemos concluir que haja diferença de eficiência entre as brocas com o nível de confiança pedido.
Resposta
(a)
\n
(b) Não. O intervalo contém o zero, logo não há evidências suficientes, ao nível , para concluir que uma broca seja mais eficiente que a outra.
(b) Não. O intervalo contém o zero, logo não há evidências suficientes, ao nível