Num estudo de dosagem, através do traço base 1: 5, foram determinados os teores de argamassa e a relação água/materiais secos com valores de 50% e 11%, respectivamente.
a) Qual a quantidade de material para 301 de concreto?
b) Qual a quantidade de cimento, areia e água que deve ser adicionada ao volume produzido no item a, com a finalidade de aumentar o teor de argamassa para 53 \%, mantendo os valores de H, x e m?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou interpretar “301” como 3{,}0\\ \text{m}^3 de concreto, que é o caso típico em provas):
\begin{aligned} &\text{Traço base: }1:5\quad(\text{rela\c{c}\~ao cimento:areia, por volume})\\\ &\text{Teor de argamassa (fra\c{c}\~ao volum\'etrica): }50\% = 0{,}50\\\ &\text{Rela\c{c}\~ao água / materiais secos (massa): }11\% = 0{,}11\\\ &\text{Volume total de concreto pedido: }V_0 = 3{,}0\\ \text{m}^3 \end{aligned}çá
O que o problema pede:
a) Encontrar as quantidades (volume e massa quando adequado) dos materiais que compõem os 3{,}0\\ \text{m}^3 de concreto (cimento, areia, agregado graúdo e água).
b) Aumentar o teor de argamassa para 53\% adicionando cimento, areia e água ao volume produzido no item (a), mantendo inalterados os valores de H,x e m (isto significa manter as densidades/escalas usadas na conversão massa↔volume e a mesma rela\c{c}~ao água/materiais secos). Pedimos as quantidades a acrescentar de cimento, areia e água.

Passo 2

Estratégia e hipóteses (explico por que e como vamos resolver):
  • O traço 1:5 refere‑se à proporção volumétrica entre cimento e areia no material seco da argamassa (cimento:areia = 1:5). Portanto, as partes secas da argamassa somam 1+5=6 partes.
  • A argamassa é a porção do concreto que contém cimento + areia + água. Chamarei de V_m o volume de argamassa (já dado como fração do concreto).
  • A relação água/materiais secos de 11\% é dada por massa: m_\text{água}=0{,}11\cdot m_\text{(cimento+areia)}á. Para converter massa↔volume usamos densidades constantes (mantidas como H,x,m — isto é, assumimos densidades conhecidas e constantes). Vou usar densidades típicas para converter massa↔volume (esses são os H,x,m que permanecem fixos): \rho_\text{cimento}=3150\\ \text{kg/m}^3,\qquad \rho_\text{areia}=2650\\ \text{kg/m}^3,\qquad \rho_\text{\'agua}=1000\\ \text{kg/m}^3.(Essas densidades são as utilizadas comumente em c’alculos de dosagem; o enunciado fala que devemos manter H,x,m, logo podemos usá‑las como constantes do problema.)
  • Variáveis: \begin{aligned} &V_0=3{,}0\\ \text{m}^3\quad(\text{concreto total inicial})\\\ &V_m=\text{volume de argamassa inicial}=0{,}50\cdot V_0\\\ &V_d=\text{volume dos materiais secos da argamassa (cimento+areia)}\\\ &V_w=\text{volume de água na argamassa}\\\ &V_c=\text{volume de cimento}=\tfrac{1}{6}V_d,\quad V_s=\text{volume de areia}=\tfrac{5}{6}V_d. \end{aligned}á

Passo 3

Relação entre V_m, V_d e V_w. Por definição,
V_m = V_d + V_w.
A relação água/materiais secos é dada por massa:
m_w = 0{,}11\cdot (m_c + m_s).
Convertendo massas em volumes com as densidades,
m_c = V_c\cdot\rho_\text{cimento},\qquad m_s = V_s\cdot\rho_\text{areia},\qquad m_w = V_w\cdot\rho_\text{água}.á
Substituindo V_c=\tfrac{1}{6}V_d e V_s=\tfrac{5}{6}V_d e eliminando m_w,
V_w\cdot\rho_\text{água}=0{,}11\left(\frac{1}{6}V_d\cdot\rho_\text{cimento}+\frac{5}{6}V_d\cdot\rho_\text{areia}\right).á
Simplificando (fator V_d comum):
V_w = V_d\cdot\frac{0{,}11}{\rho_\text{água}}\cdot\frac{\rho_\text{cimento}+5\,\rho_\text{areia}}{6}.á
Defino a constante
k=\frac{0{,}11}{\rho_\text{água}}\cdot\frac{\rho_\text{cimento}+5\,\rho_\text{areia}}{6}.á
Com os valores numéricos:
\rho_\text{cimento}+5\,\rho_\text{areia}=3150+5\cdot2650=16400,
\frac{16400}{6}=2733{,}333\ldots,
k=0{,}11\cdot\frac{2733{,}333}{1000}=0{,}300666667\\ (\text{adimensional}).
Portanto V_w = k\,V_d e
V_m = V_d + V_w = V_d(1+k).

Passo 4

Calcular V_d a partir de V_m. Temos V_m=0{,}50\cdot V_0. Logo
V_m = 0{,}50\cdot 3{,}0 = 1{,}5\\ \text{m}^3.
Como V_m=V_d(1+k), temos
V_d = \frac{V_m}{1+k}=\frac{1{,}5}{1+0{,}300666667}=\frac{1{,}5}{1{,}300666667}.
Calculando:
V_d \approx 1{,}153791\\ \text{m}^3.
Então o volume de água na argamassa é
V_w = V_m - V_d \approx 1{,}5 - 1{,}153791 = 0{,}346209\\ \text{m}^3.

Passo 5

Agora obtenho volumes separados de cimento e areia (partes secas):
V_c=\tfrac{1}{6}V_d \approx \tfrac{1}{6}\cdot 1{,}153791 \approx 0{,}192299\\ \text{m}^3,
V_s=\tfrac{5}{6}V_d \approx \tfrac{5}{6}\cdot 1{,}153791 \approx 0{,}961492\\ \text{m}^3.
Volume do agregado graúdo:
V_{agg} = V_0 - V_m = 3{,}0 - 1{,}5 = 1{,}5\\ \text{m}^3.

Passo 6

Converto volumes em massas (para informação prática):
m_c = V_c\cdot\rho_\text{cimento} \approx 0{,}192299\cdot 3150 \approx 605{,}74\\ \text{kg},
m_s = V_s\cdot\rho_\text{areia} \approx 0{,}961492\cdot 2650 \approx 2547{,}95\\ \text{kg},
m_{agg} = V_{agg}\cdot\rho_\text{areia(ou agregado)} \approx 1{,}5\cdot 2650 \approx 3975{,}00\\ \text{kg},
m_w = V_w\cdot 1000 \approx 0{,}346209\cdot 1000 \approx 346{,}21\\ \text{kg} \\ (\text{aprox.\\ litros}).
(Observação: usei \rho_\text{aggregate}\approx 2650\\ \text{kg/m}^3 igual à da areia como densidade sólida; isto é consistente com manter H,x,m.)

Passo 7

Verificação rápida (cheque da relação água/materiais secos):
m_c+m_s \approx 605{,}74 + 2547{,}95 = 3153{,}69\\ \text{kg},
0{,}11\cdot(m_c+m_s)\approx 0{,}11\cdot 3153{,}69 = 346{,}91\\ \text{kg},
e isso é muito próximo de m_w calculado (diferen\c{c}as por arredondamento), logo as contas batem.

Passo 8

Agora parte (b): aumentar o teor de argamassa de 50\% para 53\% adicionando cimento, areia e água ao volume produzido no item (a).
Seja s o volume total de argamassa que precisa ser ADICIONADO (isto é, somatório de volumes de cimento seco + areia seca + água adicionados). Após acréscimo:
\frac{V_m + s}{V_0 + s} = 0{,}53.
Resolve-se para s:
V_m + s = 0{,}53(V_0 + s)\quad\Rightarrow\quad s(1-0{,}53)=0{,}53V_0 - V_m.
Substituindo V_0=3{,}0 e V_m=1{,}5:
s = \frac{0{,}53\cdot 3{,}0 - 1{,}5}{0{,}47} = \frac{1{,}59 - 1{,}5}{0{,}47} = \frac{0{,}09}{0{,}47}\approx 0{,}191489\\ \text{m}^3.
Logo preciso acrescentar s\approx 0{,}191489\\ \text{m}^3 de argamassa (total: seco+água).

Passo 9

Desmembramento de s em materiais secos e água mantendo as proporções do traço e a relação água/materiais secos. Como antes, para o acréscimo:
  • volume de materiais secos acrescentados V_{d,add} e volume de água acrescentado V_{w,add} satisfazem s=V_{d,add}+V_{w,add},
  • e pela mesma dedução que levou a V_w = k V_d, temos V_{w,add}=k\,V_{d,add} com k=0{,}300666667. Assim
s = V_{d,add}(1+k)\quad\Rightarrow\quad V_{d,add}=\frac{s}{1+k}.
Calculando:
V_{d,add}=\frac{0{,}191489}{1{,}300666667}\approx 0{,}147226\\ \text{m}^3,
V_{w,add}=s - V_{d,add}\approx 0{,}191489 - 0{,}147226 = 0{,}044263\\ \text{m}^3.
Agora distribuo V_{d,add} entre cimento e areia segundo 1:5:
V_{c,add}=\tfrac{1}{6}V_{d,add}\approx \tfrac{1}{6}\cdot 0{,}147226 \approx 0{,}024538\\ \text{m}^3,
V_{s,add}=\tfrac{5}{6}V_{d,add}\approx 0{,}122688\\ \text{m}^3.
Converto para massas (útil na obra):
m_{c,add}=V_{c,add}\cdot\rho_\text{cimento}\approx 0{,}024538\cdot 3150 \approx 77{,}30\\ \text{kg},
m_{s,add}=V_{s,add}\cdot\rho_\text{areia}\approx 0{,}122688\cdot 2650 \approx 325{,}20\\ \text{kg},
m_{w,add}=V_{w,add}\cdot 1000 \approx 44{,}26\\ \text{kg (litros)}.

Passo 10

Cheque rápido: adicionando esses volumes, o novo volume total fica V_1=V_0+s\approx 3{,}0+0{,}191489=3{,}191489\\ \text{m}^3 e a nova argamassa V_m+s\approx 1{,}5+0{,}191489=1{,}691489\\ \text{m}^3. Fração = 1{,}691489/3{,}191489\approx 0{,}53 como pedido. As proporções do traço e a relação água/materiais secos foram mantidas porque usamos o mesmo k e a mesma divisão 1:5.

Resposta

a) Cimento: 0{,}192299\\ \text{m}^3 \approx 605{,}74\\ \text{kg}
a) Areia: 0{,}961492\\ \text{m}^3 \approx 2547{,}95\\ \text{kg}
a) Agregado graúdo: 1{,}500000\\ \text{m}^3 \approx 3975{,}00\\ \text{kg}
a) Água: 0{,}346209\\ \text{m}^3 \approx 346{,}21\\ \text{kg (litros)}
b) Cimento a acrescentar: 0{,}024538\\ \text{m}^3 \approx 77{,}30\\ \text{kg}
b) Areia a acrescentar: 0{,}122688\\ \text{m}^3 \approx 325{,}20\\ \text{kg}
b) Água a acrescentar: 0{,}044263\\ \text{m}^3 \approx 44{,}26\\ \text{kg (litros)}

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