Questão 2. A integral de linha relativa ao comprimento de arco pode ser aplicada para o cálculo de massa de um fio delgado cuja densidade linear seja conhecida. Isto é, interpretando o fio delgado como uma curva espacial C parametrizada por \gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} e \delta: C \longrightarrow \mathbb{R} a sua densidade linear, então a massa do fio é dada por:
M=\int_{C} \delta(x, y, z) d s
Podemos também definir o centro de massa do fio com a função densidade \delta como o ponto ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) cujas coordenadas são dadas por:
\begin{aligned}
\bar{x} & =\frac{1}{M} \int_{C} x \delta(x, y, z) d s \\\ \bar{y} & =\frac{1}{M} \int_{C} y \delta(x, y, z) d s
\end{aligned}
\bar{z}=\frac{1}{M} \int_{C} z \delta(z, y, z) d s
Definições análogas se aplicam ao caso de um fio delgado contido no plano cartesiano \mathbb{R}^{2}. Calcule a massa e o centro de massa das seguintes curvas parametrizadas:
O arame em formato de hélice x=t, y=\cos t, z=\sin t \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi, cuja densidade em qualquer ponto é igual a ao quadrado de sua distância à origem.
Passo 1
O enunciado dá uma curva helicoidal (hélice) e pede a massa do fio e o centro de massa. Dados e perguntas (resumido e claro):
Curva parametrizada por \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^3 com
Mas \int_0^{2\pi}\sin t\,dt = -\cos t\big|_0^{2\pi} = 0. Resta K=\int_0^{2\pi} t^2\sin t\,dt. Integração por partes com u=t^2, dv=\sin t\,dt:
u=t^2 então du=2t\,dt.
dv=\sin t\,dt então v=-\cos t.
Aplicando:
K = -t^2\cos t\Big|_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi} 2t\cos t\,dt.
O termo de fronteira é - (2\pi)^2\cos(2\pi) + 0 = -4\pi^2. Falta L=\int_0^{2\pi} t\cos t\,dt. Calculo L por partes: u=t, dv=\cos t\,dt então du=dt, v=\sin t. Assim