Questão 2. A integral de linha relativa ao comprimento de arco pode ser aplicada para o cálculo de massa de um fio delgado cuja densidade linear seja conhecida. Isto é, interpretando o fio delgado como uma curva espacial C parametrizada por \gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} e \delta: C \longrightarrow \mathbb{R} a sua densidade linear, então a massa do fio é dada por:
M=\int_{C} \delta(x, y, z) d s
Podemos também definir o centro de massa do fio com a função densidade \delta como o ponto ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) cujas coordenadas são dadas por:
\begin{aligned} \bar{x} & =\frac{1}{M} \int_{C} x \delta(x, y, z) d s \\\ \bar{y} & =\frac{1}{M} \int_{C} y \delta(x, y, z) d s \end{aligned}
\bar{z}=\frac{1}{M} \int_{C} z \delta(z, y, z) d s
Definições análogas se aplicam ao caso de um fio delgado contido no plano cartesiano \mathbb{R}^{2}. Calcule a massa e o centro de massa das seguintes curvas parametrizadas:
O arame em formato de hélice x=t, y=\cos t, z=\sin t \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi, cuja densidade em qualquer ponto é igual a ao quadrado de sua distância à origem.

Passo 1

O enunciado dá uma curva helicoidal (hélice) e pede a massa do fio e o centro de massa. Dados e perguntas (resumido e claro):
  • Curva parametrizada por \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^3 com
\gamma(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,\cos t,\sin t),\quad 0\le t\le 2\pi.
  • A densidade linear em cada ponto é igual ao quadrado da distância desse ponto à origem. Ou seja,
\delta(x,y,z) = \text{(distância ao quadrado)} = x^2+y^2+z^2.â
  • Perguntas:
    1. Calcular a massa M=\displaystyle\int_C \delta\,ds.
    2. Calcular o centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) dado por
    \bar{x}=\frac{1}{M}\int_C x\,\delta\,ds,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\int_C y\,\delta\,ds,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\int_C z\,\delta\,ds.

Passo 2

Primeiro lembro a fórmula prática para integrar ao longo de uma curva parametrizada: se \gamma(t) é a parametrização, então o elemento de arco é
ds = \|\gamma'(t)\|\,dt.
Assim, integrais do tipo \displaystyle\int_C f(x,y,z)\,ds viram integrais em t:
\int_C f(x,y,z)\,ds = \int_a^b f(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt.
Agora calculo \gamma'(t) e sua norma:
  • Derivada:
\gamma'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t)) = (1,-\sin t,\cos t).
  • Norma ao quadrado:
\|\gamma'(t)\|^2 = 1^2 + (-\sin t)^2 + (\cos t)^2 = 1 + \sin^2 t + \cos^2 t = 1 + 1 = 2.
Portanto
\|\gamma'(t)\| = \sqrt{2},
constante — isso simplifica bastante as integrais.

Passo 3

Avalio a densidade ao longo da parametrização:
\delta(\gamma(t)) = x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = t^2 + \cos^2 t + \sin^2 t = t^2 + 1.
Explicação curta: \cos^2 t+\sin^2 t=1. Então a integranda será sempre do tipo (t^2+1) vezes \|\gamma'(t)\|=\sqrt{2}.

Passo 4

Calculo a massa M:
M = \int_C \delta\,ds = \int_0^{2\pi} \delta(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt = \int_0^{2\pi} (t^2+1)\sqrt{2}\,dt.
Factorizo \sqrt{2}:
M = \sqrt{2}\int_0^{2\pi} (t^2+1)\,dt = \sqrt{2}\left[\int_0^{2\pi} t^2\,dt + \int_0^{2\pi} 1\,dt\right].
Calculo as primitivas:
\int_0^{2\pi} t^2\,dt = \left.\frac{t^3}{3}\right|_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{8\pi^3}{3},
\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi.
Somando:
M = \sqrt{2}\left(\frac{8\pi^3}{3} + 2\pi\right).
Posso fatorar 2\pi se preferir:
M = 2\pi\sqrt{2}\left(\frac{4\pi^2}{3}+1\right).

Passo 5

Agora \bar{x}. Fórmula:
\bar{x} = \frac{1}{M}\int_C x\,\delta\,ds = \frac{1}{M}\int_0^{2\pi} x(t)\,\delta(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt.
Substituindo x(t)=t, \delta(\gamma(t))=t^2+1, \|\gamma'\|=\sqrt{2}:
\bar{x} = \frac{1}{M}\int_0^{2\pi} t(t^2+1)\sqrt{2}\,dt = \frac{\sqrt{2}}{M}\int_0^{2\pi} (t^3+t)\,dt.
Calculo as integrais:
\int_0^{2\pi} t^3\,dt = \left.\frac{t^4}{4}\right|_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^4}{4} = 4\pi^4,
\int_0^{2\pi} t\,dt = \left.\frac{t^2}{2}\right|_0^{2\pi} = 2\pi^2.
Logo o numerador é
\sqrt{2}\,(4\pi^4 + 2\pi^2).
Dividindo por M=\sqrt{2}\left(\dfrac{8\pi^3}{3}+2\pi\right) cancela \sqrt{2}, ficando
\bar{x} = \frac{4\pi^4 + 2\pi^2}{\dfrac{8\pi^3}{3}+2\pi}.
Simplifico multiplicando numerador e denominador por 3 e fatorando:
\bar{x} = \frac{12\pi^4 + 6\pi^2}{8\pi^3 + 6\pi} = \frac{6\pi^2(2\pi^2+1)}{2\pi(4\pi^2+3)} = \frac{3\pi(2\pi^2+1)}{4\pi^2+3}.
Portanto
\bar{x} = \frac{3\pi(2\pi^2+1)}{4\pi^2+3}.

Passo 6

Agora \bar{y}. Fórmula:
\bar{y} = \frac{1}{M}\int_0^{2\pi} y(t)\,\delta(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt = \frac{\sqrt{2}}{M}\int_0^{2\pi} \cos t\,(t^2+1)\,dt.
Separe:
\int_0^{2\pi} \cos t\,(t^2+1)\,dt = \int_0^{2\pi} t^2\cos t\,dt + \int_0^{2\pi}\cos t\,dt.
Observação rápida:
\int_0^{2\pi}\cos t\,dt = \sin t\Big|_0^{2\pi} = 0.
Resta I=\int_0^{2\pi} t^2\cos t\,dt. Faço integração por partes. Regra: \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolho u=t^2 (deriva para algo mais simples) e dv=\cos t\,dt (integra para \sin t).
  • u=t^2 então du=2t\,dt.
  • dv=\cos t\,dt então v=\sin t.
Aplicando:
I = t^2\sin t\Big|_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 2t\sin t\,dt.
O termo de fronteira é zero porque \sin 0=\sin 2\pi=0. Então
I = -2\int_0^{2\pi} t\sin t\,dt.
Calculo J=\int_0^{2\pi} t\sin t\,dt por partes novamente. Escolho u=t, dv=\sin t\,dt:
  • u=t então du=dt.
  • dv=\sin t\,dt então v=-\cos t.
Logo
J = -t\cos t\Big|_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi}\cos t\,dt.
Novamente \int_0^{2\pi}\cos t\,dt=0. E -t\cos t\Big|_0^{2\pi} = -2\pi\cos(2\pi) + 0 = -2\pi. Assim J=-2\pi. Então
I = -2J = -2(-2\pi) = 4\pi.
Portanto
\int_0^{2\pi} \cos t\,(t^2+1)\,dt = 4\pi.
Voltando a \bar{y}:
\bar{y} = \frac{\sqrt{2}\cdot 4\pi}{M} = \frac{4\pi}{\dfrac{8\pi^3}{3}+2\pi}
(cancelei \sqrt{2}). Simplifico:
\bar{y} = \frac{4\pi}{2\pi\left(\dfrac{4\pi^2}{3}+1\right)} = \frac{2}{\dfrac{4\pi^2}{3}+1} = \frac{6}{4\pi^2+3}.

Passo 7

Agora \bar{z}. Pela fórmula:
\bar{z} = \frac{1}{M}\int_0^{2\pi} z(t)\,\delta(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt = \frac{\sqrt{2}}{M}\int_0^{2\pi} \sin t\,(t^2+1)\,dt.
De novo separamos:
\int_0^{2\pi} \sin t\,(t^2+1)\,dt = \int_0^{2\pi} t^2\sin t\,dt + \int_0^{2\pi}\sin t\,dt.
Mas \int_0^{2\pi}\sin t\,dt = -\cos t\big|_0^{2\pi} = 0. Resta K=\int_0^{2\pi} t^2\sin t\,dt. Integração por partes com u=t^2, dv=\sin t\,dt:
  • u=t^2 então du=2t\,dt.
  • dv=\sin t\,dt então v=-\cos t.
Aplicando:
K = -t^2\cos t\Big|_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi} 2t\cos t\,dt.
O termo de fronteira é - (2\pi)^2\cos(2\pi) + 0 = -4\pi^2. Falta L=\int_0^{2\pi} t\cos t\,dt. Calculo L por partes: u=t, dv=\cos t\,dt então du=dt, v=\sin t. Assim
L = t\sin t\Big|_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi}\sin t\,dt = 0 - 0 = 0.
Logo K = -4\pi^2 + 2\cdot 0 = -4\pi^2. Portanto
\int_0^{2\pi} \sin t\,(t^2+1)\,dt = -4\pi^2.
Voltando a \bar{z}:
\bar{z} = \frac{\sqrt{2}\cdot (-4\pi^2)}{M} = \frac{-4\pi^2}{\dfrac{8\pi^3}{3}+2\pi}.
Simplificando (multiplicando numerador e denominador por 3 e reduzindo fatores):
\bar{z} = \frac{-12\pi^2}{8\pi^3+6\pi} = \frac{-6\pi}{4\pi^2+3}.

Resposta

M=\displaystyle \sqrt{2}\!\left(\frac{8\pi^{3}}{3}+2\pi\right)=2\pi\sqrt{2}\!\left(\frac{4\pi^{2}}{3}+1\right)
\displaystyle \bar{x}=\frac{3\pi(2\pi^{2}+1)}{4\pi^{2}+3}
\displaystyle \bar{y}=\frac{6}{4\pi^{2}+3}
\displaystyle \bar{z}=\frac{-6\pi}{4\pi^{2}+3}

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