Em um estudo de Engenharia Ambiental, foi coletada uma amostra aleatória de 30 mediçōes da concentração de um poluente em um rio. As concentrações, medidas em mg/L, apresentaram uma média de 12,5 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e um desvio-padrão de 2,1 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Admita que a distribuição das concentrações segue uma distribuição aproximadamente normal. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média verdadeira da concentração de poluentes nesse rio.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira da concentração de poluentes em um rio, a partir de uma amostra de tamanho n=30, com média amostral \bar{x}=12{,}5 mg/L e desvio-padrão amostral s=2{,}1 mg/L. Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é razoavelmente pequena, usaremos a distribuição t de Student.

Passo 2

O intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
onde t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Calculamos os parâmetros:
n-1 = 30-1 = 29,
\alpha = 0{,}05 para 95\% de confiança, logo buscamos t_{0{,}025,\,29}. Pela tabela de t obtemos
t_{0{,}025,\,29}\approx 2{,}045.

Passo 4

Calculamos o erro-padrão da média:
\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2{,}1}{\sqrt{30}}\approx \frac{2{,}1}{5{,}477} \approx 0{,}3835.

Passo 5

O erro máximo admitido (margem de erro) é
E = t_{0{,}025,\,29}\times \mathrm{SE} \approx 2{,}045 \times 0{,}3835 \approx 0{,}785.

Passo 6

Portanto, o intervalo de confiança de 95\% fica
\bigl[\,\bar{x}-E,\;\bar{x}+E\,\bigr] = [\,12{,}5 - 0{,}785,\;12{,}5 + 0{,}785\,] = [\,11{,}715,\;13{,}285\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira da concentração é aproximadamente
[\,11{,}72,\;13{,}29\,]\text{ mg/L}.

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