Em um estudo de controle de qualidade no concreto utilizado na construçāo de uma ponte, foram coletadas 17 amostras de resistência à compressão (em MPa), o que resultou em um desvio padrão de 1,2 \mathrm{MPa}. Considerando que a resistência à compressão do concreto segue uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 96 \% para a variância verdadeira da resistência à compressão do concreto.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=17 com desvio padrão amostral s=1,2 MPa. Assumimos que a resistência segue distribuição normal e queremos um intervalo de confiança de 96\% para a variância verdadeira \sigma^2. Para isso, vamos usar a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Sabemos que, para amostra normal,
\frac{(n-1)\,s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{\,n-1}.
Logo um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^2 é dado por
\Pr\!\Bigl(\chi^2_{1-\frac\alpha2,\,n-1}\le \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{\frac\alpha2,\,n-1}\Bigr)=1-\alpha.

Passo 3

Aqui \alpha=0,04, logo \frac\alpha2=0,02. Para n-1=16 graus de liberdade, os quantis são (tabelados):
\chi^2_{0,98,\,16}\approx 30,191, \qquad \chi^2_{0,02,\,16}\approx 6,626.

Passo 4

Calculamos (n-1)\,s^2=16\times(1,2)^2=16\times1,44=23,04.
Assim
\sigma^2_{\min} =\frac{23,04}{\chi^2_{0,98,\,16}} =\frac{23,04}{30,191}\approx0,763,
\sigma^2_{\max} =\frac{23,04}{\chi^2_{0,02,\,16}} =\frac{23,04}{6,626}\approx3,477.

Resposta

Um intervalo de confiança de 96\% para a variância verdadeira \sigma^2 é aproximadamente
(0,76\,,\,3,48)\\ \text{MPa}^2.

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