Em um estudo de confiabilidade de dispositivos elétricos, uma equipe de engenheiros analisou 200 componentes fabricados por uma empresa. Durante os testes, observou-se que 18 desses componentes apresentaram falhas.
(a) Construa um intervalo de confiança de 97 \% para a proporção verdadeira de componentes defeituosos.
(b) Se a margem de erro considerando a proporção amostral obtida fosse de 2 \%, qual deveria ser o tamanho da amostra necessário para estarmos 97 \% confiantes de que essa amostra forneceria uma estimativa da proporçāo amostral diferindo da verdadeira proporção por uma quantidade menor que 2 \%.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=200 componentes, das quais x=18 apresentaram falha. Vamos construir um intervalo de confiança de 97\% para a proporção verdadeira p de componentes defeituosos e depois achar o tamanho de amostra necessário para uma margem de erro de 2\% ao mesmo nível de confiança.

Passo 2

Primeiro calculamos a proporção amostral
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{18}{200} = 0,09.

Passo 3

Para 97\% de confiança, \alpha=0,03 e \alpha/2=0,015. O quantil crítico da normal padrão é
z_{\alpha/2} = z_{0{,}985} \approx 2,17.

Passo 4

A margem de erro do intervalo é
E = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = 2,17\,\sqrt{\frac{0,09\,(1-0,09)}{200}} \approx 2,17\,\sqrt{\frac{0,0819}{200}} \approx 2,17 \times 0,02024 \approx 0,043.
Logo o intervalo de confiança é
\Bigl[\hat p - E,\;\hat p + E\Bigr] = [0,09 - 0,043,\;0,09 + 0,043] = [0,047,\;0,133].

Passo 5

Em termos percentuais, isso equivale a
[4,7\%,\;13,3\%].

Passo 6

Para a parte (b), a fórmula aproximada do tamanho de amostra que garante margem de erro E=0,02 é
n = \frac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p\,(1-\hat p)}{E^2}.

Passo 7

Substituindo z_{\alpha/2}=2,17, \hat p=0,09 e E=0,02,
n = \frac{(2,17)^2 \times 0,09 \times (1-0,09)}{(0,02)^2} = \frac{4,7089 \times 0,0819}{0,0004} \approx \frac{0,3857}{0,0004} \approx 964{,}3.
Como n deve ser inteiro, arredondamos para cima: n=965.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 97\%: [0,047,\;0,133] (ou [4,7\%,\;13,3\%]).
(b) Tamanho de amostra necessário: n=965.

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