Um estudo inicial de transferência de massa do transporte de oxigênio no tecido humano concedeu o prêmio Nobel para August Krough. Considerando um cilindro de tecido ao redor de cada vaso sanguíneo, ele propôs que a difusão do oxigênio do vaso sanguíneo para dentro do tecido anular foi acompanhada por uma reação de ordem zero, que é R_{A}=-m, onde m é uma constante. Esta
reação foi necessária para explicar o consumo metabólico do oxigênio para produzir dióxido de carbono.
Utilize a equação diferencial geral para a transferência de massa de oxigênio a fim de escrever a equação diferencial específica que irá descrever a difusão de oxigênio no tecido humano. Qual seria a forma da relação de Fick apenas em termos do oxigênio que está se difundindo?

Passo 1

O enunciado fala de difusão do oxigênio em torno de um vaso sanguíneo, modelado como um cilindro de tecido, com consumo metabólico de ordem zero R_{A}=-m. O que precisamos é: a equação de balanço geral de transferência de massa (acumulação = divergência de fluxo + reação) e a lei de Fick para o fluxo, aplicados ao oxigênio difundindo radialmente no cilindro.

Passo 2

Escrevemos o balanço de massa para concentração de oxigênio \(C) em forma local:
\frac{\partial C}{\partial t} = -\,\nabla\!\cdot\!N + R_{A}
onde N é o vetor fluxo molar e R_{A}=-m (taxa de reação constante de ordem zero).

Passo 3

Pela lei de Fick de 1.º espécie, o fluxo molar de oxigênio é
N \;=\;-\,D\,\nabla C
com D coeficiente de difusão do oxigênio no tecido. Esta é a “forma da relação de Fick apenas em termos do oxigênio”.

Passo 4

Como o problema é de difusão radial em um cilindro e em regime permanente \partial C/\partial t=0, substituímos N e R_{A} no balanço e passamos a coordenadas cilíndricas (dependência só de r):
0 \;=\;-\,\nabla\!\cdot\!(-D\nabla C)\;-\;m \quad\Longrightarrow\quad 0 = D\,\nabla^{2}C - m.
Em coordenadas cilíndricas (apenas componente radial)
\nabla^{2}C =\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\frac{dC}{dr}\Bigr),
logo a equação diferencial fica
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\frac{dC}{dr}\Bigr) =\frac{m}{D}.

Resposta

A equação diferencial que descreve a difusão de oxigênio com reação de ordem zero no cilindro de tecido é
\boxed{\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\Bigl(r\,\frac{dC}{dr}\Bigr)\;=\;\frac{m}{D}}
e a lei de Fick (fluxo de oxigênio) é
\boxed{N \;=\;-\,D\,\frac{dC}{dr}\,.}

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