Um grande lago profundo, que inicialmente tinha uma concentração uniforme de oxigênio de
, tem sua concentração superficial subitamente aumentada e mantida a
de concentração.
Reduza a equação diferencial geral para transferência de massa a fim de escrever a equação diferencial específica para uma:
a) transferência de oxigênio para o lago sem a presença de uma reação química;
b) transferência de oxigênio para o lago, a qual ocorre com o desaparecimento simultâneo de oxigênio por uma reação biológica de primeira ordem.
a) transferência de oxigênio para o lago sem a presença de uma reação química;
b) transferência de oxigênio para o lago, a qual ocorre com o desaparecimento simultâneo de oxigênio por uma reação biológica de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado descreve um lago profundo cujo conteúdo de oxigênio no volume soma é bem misturado, com concentração inicial
. A partir de
, a concentração na superfície é mantida em
. Vamos usar o balanço de massa em um sistema de volume constante com transferência de massa na interface e possível reação no interior para escrever a equação diferencial geral e depois reduzi-la para os casos pedidos.
Passo 2
O balanço de massa geral para a concentração
no volume do lago é
onde
• é o coeficiente de transferência de massa (m/s)
• é a área de interface por unidade de volume (m²/m³)
• é a concentração mantida na superfície (kg/m³)
• é a taxa volumétrica de reação (kg / m³ · s), positiva se gera espécie e negativa se consome.
•
•
•
•
Passo 3
Caso (a): não há reação química, logo
. Substituindo em
fica a equação diferencial que descreve o aumento de oxigênio só por difusão da superfície.
Passo 4
Caso (b): ocorre reação biológica de primeira ordem que consome oxigênio, logo
com
constante de primeira ordem (s⁻¹). Inserindo em
obtém-se a equação diferencial específica que combina entrada por transferência de massa e saída por reação de primeira ordem.
Resposta
a)
b)