Um grande lago profundo, que inicialmente tinha uma concentração uniforme de oxigênio de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, tem sua concentração superficial subitamente aumentada e mantida a 9 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} de concentração.
Reduza a equação diferencial geral para transferência de massa a fim de escrever a equação diferencial específica para uma:
a) transferência de oxigênio para o lago sem a presença de uma reação química;
b) transferência de oxigênio para o lago, a qual ocorre com o desaparecimento simultâneo de oxigênio por uma reação biológica de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado descreve um lago profundo cujo conteúdo de oxigênio no volume soma é bem misturado, com concentração inicial C(0)=1\\ \mathrm{kg/m^3}. A partir de t=0, a concentração na superfície é mantida em C_s=9\\ \mathrm{kg/m^3}. Vamos usar o balanço de massa em um sistema de volume constante com transferência de massa na interface e possível reação no interior para escrever a equação diferencial geral e depois reduzi-la para os casos pedidos.

Passo 2

O balanço de massa geral para a concentração C(t) no volume do lago é
\frac{dC}{dt} \;=\; k_L\,a\bigl(C_s - C\bigr)\;+\;r
onde
k_L é o coeficiente de transferência de massa (m/s)
a é a área de interface por unidade de volume (m²/m³)
C_s é a concentração mantida na superfície (kg/m³)
r é a taxa volumétrica de reação (kg / m³ · s), positiva se gera espécie e negativa se consome.

Passo 3

Caso (a): não há reação química, logo r=0. Substituindo em
\frac{dC}{dt} = k_L\,a\bigl(C_s - C\bigr)
fica a equação diferencial que descreve o aumento de oxigênio só por difusão da superfície.

Passo 4

Caso (b): ocorre reação biológica de primeira ordem que consome oxigênio, logo
r = -k\,C
com k constante de primeira ordem (s⁻¹). Inserindo em
\frac{dC}{dt} = k_L\,a\bigl(C_s - C\bigr)\;-\;k\,C
obtém-se a equação diferencial específica que combina entrada por transferência de massa e saída por reação de primeira ordem.

Resposta

a)
\frac{dC}{dt} = k_L\,a\bigl(C_s - C\bigr)
b)
\frac{dC}{dt} = k_L\,a\bigl(C_s - C\bigr)\;-\;k\,C

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