Um reator de carvão fluidizado foi proposto para uma nova usina elétrica. Se o carvão for considerado esférico, reduza a equação diferencial geral para transferência de massa a fim obter uma equação diferencial específica para descrever a difusão de oxigênio no estado estacionário para a superfície da partícula de carvão.
Determinar a relação da lei de Fick para o fluxo de oxigênio do ambiente de ar circundante, se
a) somente o monóxido de carbono CO é produzido na superfície da partícula de carbono;
b) somente dióxido de carbono, \mathrm{CO}_{2}, é produzido na superfície da partícula de carbono.
Se a reação na superfície da partícula de carbono é instantânea, apresente duas condições de contorno que podem ser utilizadas na solução da equação diferencial.

Passo 1

Resumindo: temos uma partícula esférica de carvão de raio R imersa em um grande volume de gás contendo oxigênio. Queremos descrever o transporte de massa de oxigênio até a superfície da partícula no estado estacionário. O conteúdo-chave é a difusão esférica de Fick sem geração interna, que se escreve em coordenadas esféricas como divergência do fluxo igual a zero, usando
\mathbf{N}_A = -D_{AB}\,\nabla C_A.

Passo 2

Escrevendo a conservação de massa do oxigênio no estado estacionário e sem fontes dentro da partícula de gás, temos
\nabla\cdot\mathbf{N}_A \;=\; 0
em coordenadas esféricas isto vira
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\,N_{A,r}\Bigr)=0,
onde N_{A,r}=-D_{AB}\,\frac{dC_A}{dr}. Substituindo, obtemos a ODE
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Bigl(-D_{AB}\,r^2\frac{dC_A}{dr}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dC_A}{dr}\Bigr)=0.

Passo 3

Integramos uma vez em r:
r^2\frac{dC_A}{dr}=B,
onde B é constante de integração. Integramos de novo:
C_A(r)=A + \frac{B}{r}.
As constantes A e B serão determinadas pelas condições de contorno: concentração conhecida no infinito e na superfície (ou fluxo ligado à reação).

Passo 4

O fluxo radial de oxigênio é
N_{A,r}(r)=-D_{AB}\,\frac{dC_A}{dr} =-D_{AB}\,\Bigl(-\frac{B}{r^2}\Bigr) =\frac{D_{AB}\,B}{r^2}.
Em particular na superfície r=R,
N_{A,r}(R)=\frac{D_{AB}\,B}{R^2}.
Usando as condições usualmente adotadas para difusão a partir de um reservatório infinitamente distante C_A(\infty)=C_{A,\infty} e valor na superfície C_A(R)=C_{A,s}, obtemos
C_A(r)=C_{A,\infty}-\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr)\frac{R}{r},
N_{A,r}(R)=D_{AB}\,\frac{C_{A,\infty}-C_{A,s}}{R}.
O fluxo total de oxigênio consumido na superfície é
\dot{n}_{A} = 4\pi R^2\,N_{A,r}(R) =4\pi D_{AB}R\,\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr).

Passo 5

(a) Se só se forma monóxido de carbono (CO) pela reação
\mathrm{C}+ \tfrac12\,\mathrm{O}_2\longrightarrow \mathrm{CO},
a estequiometria diz que 1 mol de \mathrm{O}_2 gera 2 mol de CO. Logo, o fluxo de CO produzido é
\dot{n}_{\text{CO}}=2\,\dot{n}_{\mathrm{O}_2} =2\;4\pi D_{AB}R\,\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr).
Mas o fluxo de oxigênio consumido permanece
\dot{n}_{\mathrm{O}_2} =4\pi D_{AB}R\,\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr).

Passo 6

(b) Se só se forma dióxido de carbono (CO _2) pela reação
\mathrm{C}+ \mathrm{O}_2\longrightarrow \mathrm{CO}_2,
a estequiometria é 1 para 1, de modo que
\dot{n}_{\mathrm{CO}_2}=\dot{n}_{\mathrm{O}_2} =4\pi D_{AB}R\,\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr).

Passo 7

Para reação instantânea na superfície adota-se normalmente:
  1. C_A(r\to\infty)=C_{A,\infty} (reservatório de oxigênio constante),
  2. C_A(r=R)=0 (oxigênio totalmente consumido na superfície).

Resposta

Equação diferencial reduzida:
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{dC_A}{dr}\Bigr)=0.
Lei de Fick para o fluxo de oxigênio consumido na superfície:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2} =4\pi D_{AB}R\,\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr) \quad\text{com}\quad C_{A,s}=0\,.
(a) Somente CO: \dot{n}_{\mathrm{CO}}=2\,\dot{n}_{\mathrm{O}_2} =8\pi D_{AB}R\,(C_{A,\infty}-0). (b) Somente CO _2: \dot{n}_{\mathrm{CO}_2}=\dot{n}_{\mathrm{O}_2} =4\pi D_{AB}R\,(C_{A,\infty}-0). Condições de contorno para reação instantânea:
C_A(r\to\infty)=C_{A,\infty}, \qquad C_A(r=R)=0.

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