Um estudo que investiga a relação entre idade e despesas médicas anuais amostra aleatoriamente 100 indivíduos em uma cidade da Califórnia. Espera-se que a amostra tenha uma média de idade semelhante à de toda a população.
A probabilidade seria maior ou menor se
? Por quê?
A probabilidade seria maior ou menor se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um estudo que investiga a relação entre idade e despesas médicas anuais. Eles amostraram 100 pessoas aleatoriamente em uma cidade da Califórnia e esperam que a média das idades dessa amostra seja parecida com a média da população inteira. A questão pergunta: se o desvio padrão
for 10, a probabilidade de algo (provavelmente a média da amostra ser próxima da média da população) seria maior ou menor? E por quê? Vamos precisar entender sobre distribuição amostral da média e como o desvio padrão influencia isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o desvio padrão
. Ele mede o quanto os valores individuais de uma população variam em relação à média da população. Um
de 10 significa que, em média, as idades das pessoas estão espalhadas cerca de 10 anos para mais ou para menos da média.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a distribuição da média da amostra. Quando tiramos uma amostra de 100 pessoas, a média dessas idades vai ter sua própria distribuição. O desvio padrão dessa distribuição é chamado de erro padrão da média e é calculado por
, onde
é o tamanho da amostra. Com
e
, o erro padrão da média seria
.
Passo 4
O erro padrão indica o quanto a média da amostra tende a variar em relação à média da população. Quanto menor for o erro padrão, mais próxima a média da amostra estará da média da população. No nosso caso, com um erro padrão de 1, temos uma variação bem pequena.
Passo 5
Então, se o desvio padrão
fosse maior que 10, o erro padrão aumentaria, o que faria com que a média da amostra variasse mais em relação à média da população. Isso significaria menor probabilidade de a média da amostra estar próxima da média da população.
Passo 6
Por outro lado, se o desvio padrão
diminui, o erro padrão também diminui, aumentando a probabilidade de que a média da amostra esteja próxima da média da população.
Resposta
Com
, a probabilidade de a média da amostra estar próxima da média da população é maior, porque um desvio padrão menor reduz o erro padrão da média, tornando a estimativa mais precisa.