Um estudo que investiga a relação entre idade e despesas médicas anuais amostra aleatoriamente 100 indivíduos em uma cidade da Califórnia. Espera-se que a amostra tenha uma média de idade semelhante à de toda a população.
A probabilidade seria maior ou menor se sigma=10 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um estudo que investiga a relação entre idade e despesas médicas anuais. Eles amostraram 100 pessoas aleatoriamente em uma cidade da Califórnia e esperam que a média das idades dessa amostra seja parecida com a média da população inteira. A questão pergunta: se o desvio padrão sigma for 10, a probabilidade de algo (provavelmente a média da amostra ser próxima da média da população) seria maior ou menor? E por quê? Vamos precisar entender sobre distribuição amostral da média e como o desvio padrão influencia isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o desvio padrão sigma. Ele mede o quanto os valores individuais de uma população variam em relação à média da população. Um sigma de 10 significa que, em média, as idades das pessoas estão espalhadas cerca de 10 anos para mais ou para menos da média.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a distribuição da média da amostra. Quando tiramos uma amostra de 100 pessoas, a média dessas idades vai ter sua própria distribuição. O desvio padrão dessa distribuição é chamado de erro padrão da média e é calculado por sigmaraizn, onde n é o tamanho da amostra. Com sigma = 10 e n = 100, o erro padrão da média seria 10raiz100 = 1010 = 1.

Passo 4

O erro padrão indica o quanto a média da amostra tende a variar em relação à média da população. Quanto menor for o erro padrão, mais próxima a média da amostra estará da média da população. No nosso caso, com um erro padrão de 1, temos uma variação bem pequena.

Passo 5

Então, se o desvio padrão sigma fosse maior que 10, o erro padrão aumentaria, o que faria com que a média da amostra variasse mais em relação à média da população. Isso significaria menor probabilidade de a média da amostra estar próxima da média da população.

Passo 6

Por outro lado, se o desvio padrão sigma diminui, o erro padrão também diminui, aumentando a probabilidade de que a média da amostra esteja próxima da média da população.

Resposta

Com sigma = 10, a probabilidade de a média da amostra estar próxima da média da população é maior, porque um desvio padrão menor reduz o erro padrão da média, tornando a estimativa mais precisa.

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