O teste de conhecimentos gerais chamado Graduate Record Examination (GRE) tem componentes que medem o raciocínio verbal e o raciocínio quantitativo. O exame verbal e o exame quantitativo têm cada um uma pontuação mínima de 200 e máxima de 800. Nos últimos anos, a pontuação total nos dois exames teve aproximadamente uma distribuição normal com uma média de cerca de 1050 e desvio padrão de cerca de 200.
Um grupo de 25 alunos formou um grupo de estudos para se preparar para o GRE. Para eles, a média de suas 25 pontuações totais é 1200. Se eles fossem uma amostra aleatória dos alunos que estão fazendo o exame, explique por que isso teria sido um resultado muito incomum.

Passo 1

Vamos resumir o problema: estamos lidando com estatística, especificamente com distribuições normais e amostragem. O exercício nos diz que a pontuação total do GRE segue uma distribuição normal com média de 1050 e desvio padrão de 200. Temos um grupo de 25 alunos cuja média das pontuações totais é 1200. Precisamos explicar por que, se esses 25 alunos fossem uma amostra aleatória, obter essa média seria um resultado muito incomum.

Passo 2

Primeiro, vamos entender alguns conceitos importantes. Quando temos uma população com uma determinada média ( mu) e desvio padrão ( sigma), a média de uma amostra ( barx) também seguirá uma distribuição normal, conhecida como distribuição da média amostral. O desvio padrão dessa distribuição é chamado de erro padrão da média e é calculado pela fórmula:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
onde n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão para nosso grupo de 25 alunos:
Erro Padrão = 200raiz25 = 2005 = 40 ã
Então, o erro padrão é 40.

Passo 4

Agora, vamos calcular o escore z, que nos ajuda a entender quão distante a média da amostra está da média da população. A fórmula do escore z é:
z = barx - muErro Padrão ã
Substituindo os valores:
z = 1200 - 105040 = 15040 = 3,75

Passo 5

Um escore z de 3,75 significa que a média da amostra está 3,75 desvios padrão acima da média da população. Em termos de probabilidade, escore z acima de 3,75 está muito além da faixa típica de variação (normalmente, cerca de 99,7% dos valores estão dentro de 3 desvios padrão em uma distribuição normal). Portanto, a probabilidade de obter uma média de 1200 em uma amostra de 25 alunos é extremamente baixa, tornando esse resultado muito incomum.

Resposta

Obter uma média de 1200 em uma amostra de 25 alunos é um resultado extremamente improvável, indicando que esse grupo de alunos provavelmente não é uma amostra aleatória da população que faz o exame GRE.

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