Um estudo que investiga a relação entre idade e despesas médicas anuais amostra aleatoriamente 100 indivíduos em uma cidade da Califórnia. Espera-se que a amostra tenha uma média de idade semelhante à de toda a população.
Se o desvio padrão das idades de todos os indivíduos em Davis for sigma=15, encontre a probabilidade de que a idade média dos indivíduos da amostra esteja dentro de dois anos da idade média de todos os indivíduos na cidade. (Dica: encontre a distribuição amostral da idade média da amostra e use o teorema do limite central. Você não precisa saber a média da população para responder, mas se isso facilitar, use um valor como mu=30.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um estudo que analisa a relação entre a idade e as despesas médicas anuais de 100 pessoas escolhidas aleatoriamente em uma cidade da Califórnia. Queremos saber qual a probabilidade de que a média das idades dessa amostra esteja dentro de dois anos da média real de todas as pessoas da cidade. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Limite Central e entender um pouco sobre distribuição amostral da média.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar alguns valores importantes:
  • Tamanho da amostra, $ n = 100 $
  • Desvio padrão da população, $ \sigma = 15 $
  • Distância da média que queremos, $ E = 2 $

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema do Limite Central, que nos diz que a distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal, especialmente quando o tamanho da amostra é grande (geralmente $ n \geq 30 $ é considerado bom). Essa distribuição normal tem:
  • Média igual à média da população, $ \mu $
  • Desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra, ou seja, $ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $

Passo 4

Calculando o desvio padrão da média amostral:
sigmabarx = 15raiz100 = 1510 = 1.5
Isso significa que a distribuição das médias amostrais tem desvio padrão de 1.5 anos.

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de 2 anos da média da população. Em termos matemáticos, isso é:
P(mu - 2 <= barx <= mu + 2)
Para calcular isso, vamos padronizar essa expressão usando o escore z:
z = barx - musigmabarx
Então, a expressão fica:
P(-21.5 <= z <= 21.5) Rightarrow P(-13 <= z <= 13)

Passo 6

Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos:
P(z <= 13) approx 0.9088
Como a distribuição é simétrica, temos:
P(-13 <= z <= 13) = 2 times 0.9088 - 1 = 0.8176
Ou seja, aproximadamente 81.76%.

Resposta

A probabilidade de que a média das idades da amostra esteja dentro de dois anos da média da população é de aproximadamente 81,8%.

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