Um estudo que investiga a relação entre idade e despesas médicas anuais amostra aleatoriamente 100 indivíduos em uma cidade da Califórnia. Espera-se que a amostra tenha uma média de idade semelhante à de toda a população.
Se o desvio padrão das idades de todos os indivíduos em Davis for
, encontre a probabilidade de que a idade média dos indivíduos da amostra esteja dentro de dois anos da idade média de todos os indivíduos na cidade. (Dica: encontre a distribuição amostral da idade média da amostra e use o teorema do limite central. Você não precisa saber a média da população para responder, mas se isso facilitar, use um valor como
.)
Se o desvio padrão das idades de todos os indivíduos em Davis for
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um estudo que analisa a relação entre a idade e as despesas médicas anuais de 100 pessoas escolhidas aleatoriamente em uma cidade da Califórnia. Queremos saber qual a probabilidade de que a média das idades dessa amostra esteja dentro de dois anos da média real de todas as pessoas da cidade. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Limite Central e entender um pouco sobre distribuição amostral da média.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar alguns valores importantes:
- Tamanho da amostra, $ n = 100 $
- Desvio padrão da população, $ \sigma = 15 $
- Distância da média que queremos, $ E = 2 $
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema do Limite Central, que nos diz que a distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal, especialmente quando o tamanho da amostra é grande (geralmente $ n \geq 30 $ é considerado bom). Essa distribuição normal tem:
- Média igual à média da população, $ \mu $
- Desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra, ou seja, $ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $
Passo 4
Calculando o desvio padrão da média amostral:
Isso significa que a distribuição das médias amostrais tem desvio padrão de 1.5 anos.
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja dentro de 2 anos da média da população. Em termos matemáticos, isso é:
Para calcular isso, vamos padronizar essa expressão usando o escore z:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos:
Como a distribuição é simétrica, temos:
Ou seja, aproximadamente 81.76%.
Resposta
A probabilidade de que a média das idades da amostra esteja dentro de dois anos da média da população é de aproximadamente 81,8%.