No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura
no instante
e à profundidade
pode ser dada aproximadamente por
, em que
e
são constantes. Mostre que
satisfaz a equação unidimensional do calor:
, com
.
Passo 1
O enunciado fornece a temperatura
onde
são constantes. Pede-se mostrar que
satisfaz a equação unidimensional do calor
e, no enunciado, está escrito que
. Aqui eu vou calcular explicitamente
e
e comparar os dois lados para identificar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, calculemos
. Vou explicar a regra que uso: quando temos uma função composta
, a derivada em relação a
é dada pela regra da cadeia,
Exemplo simples:
. No nosso caso
, então
. Como o fator
é tratado como constante em relação a
, temos
Portanto
Passo 3
Agora calculemos
. Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto diz que, para
,
No nosso caso
e
. As derivadas necessárias são
e, pela regra da cadeia,
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora precisamos de
, ou seja, derivar o resultado do passo anterior em relação a
. Vou fazer isso com calma, aplicando novamente produto e cadeia. Escrevo
onde
. Diferenciando:
Usando a regra do produto dentro do colchete:
Agora a derivada de
com respeito a
(regra da cadeia com
) é
Substituindo:
Então voltando à segunda derivada,
Passo 5
Agora comparemos
(Passo 2) e
(Passo 4). Temos
e
Ambos têm o mesmo fator comum
, portanto podemos relacioná-los:
Isto mostra que
satisfaz a equação do calor
com
Observação: o valor obtido algebraicamente é
, que é o recíproco de
que aparece no enunciado; provavelmente há uma inversão tipográfica no enunciado. De qualquer forma, o cálculo explícito acima é claro e direto.