Quais das funções dos exercícios 3. a 8. satisfazem a equação de Laplace?
z=f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função z=f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y satisfaz a equação de Laplace.
Informações dadas: a função é
f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y.
A pergunta é: esta função é solução da equação de Laplace (ou seja, é harmônica)?

Passo 2

O que significa “satisfazer a equação de Laplace”? Vou explicar passo a passo, como se estivéssemos na prova.
A equação de Laplace em duas variáveis exige que a soma das segundas derivadas parciais seja zero. Isso se chama Laplaciano e denotamos por \Delta f. A condição é
\Delta f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 0.
Significado das notações:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante.
  • \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} é a derivada parcial em relação a x da derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}.
  • O mesmo vale para as derivadas em y.
Na prática, para checar se f é harmônica, calculamos \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e somamos.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada parcial em relação a x. Aqui y é tratado como constante. Usei a regra do poder para x e a regra do produto quando necessário.
A função é f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y.
A derivada parcial em x de y^{3} é zero porque y^{3} não depende de x.
Para 3x^{2}y, y é constante, então a derivada em x é 3\cdot 2x \cdot y = 6xy. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy.

Passo 4

Agora a segunda derivada parcial em x: derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=6xy em relação a x, tratando y como constante. Aplicando a regra do produto (ou simplesmente a regra do poder em x):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy)=6y.
Explicando: 6y é constante em relação a x, e \frac{d}{dx}(x)=1, então sobra 6y.

Passo 5

Calculemos a primeira derivada parcial em relação a y. Aqui x é tratado como constante.
Derivando f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y em relação a y:
  • \frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) = 3y^{2} pela regra do poder.
  • \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y) = 3x^{2} porque 3x^{2} é constante e a derivada de y é 1.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^{2} + 3x^{2}.

Passo 6

Agora a segunda derivada parcial em y: derivamos \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+3x^{2} em relação a y. A derivada de 3y^{2} é 6y e de 3x^{2} é zero (pois x é constante em relação a y). Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 6y.

Passo 7

Somamos as segundas derivadas para formar o Laplaciano:
\Delta f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 6y + 6y = 12y.

Passo 8

Interpretação final: para que f seja solução da equação de Laplace precisamos de \Delta f = 0 para todos os pontos (x,y) do domínio. Aqui obtivemos \Delta f = 12y, que é zero apenas quando y=0. Isso significa que f não satisfaz a equação de Laplace em toda a região (isto é, não é uma função harmônica globalmente); ela satisfaz somente na linha y=0, mas isso não basta para ser considerada harmônica no plano inteiro.

Resposta

Não. \Delta f=12y, que é nulo apenas quando \;y=0\;, logo f não satisfaz a equação de Laplace em geral.

Exercícios relacionados