Quais das funções dos exercícios 3. a 8. satisfazem a equação de Laplace?
Passo 1
O enunciado pergunta se a função
satisfaz a equação de Laplace.
Informações dadas: a função é
Informações dadas: a função é
A pergunta é: esta função é solução da equação de Laplace (ou seja, é harmônica)?
Passo 2
O que significa “satisfazer a equação de Laplace”? Vou explicar passo a passo, como se estivéssemos na prova.
A equação de Laplace em duas variáveis exige que a soma das segundas derivadas parciais seja zero. Isso se chama Laplaciano e denotamos por . A condição é
A equação de Laplace em duas variáveis exige que a soma das segundas derivadas parciais seja zero. Isso se chama Laplaciano e denotamos por
Significado das notações:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada parcial em relação a da derivada parcial . - O mesmo vale para as derivadas em
.
Na prática, para checar se
é harmônica, calculamos
e
e somamos.
Passo 3
Calculemos a primeira derivada parcial em relação a
. Aqui
é tratado como constante. Usei a regra do poder para
e a regra do produto quando necessário.
A função é
.
A derivada parcial em de
é zero porque
não depende de
.
Para ,
é constante, então a derivada em
é
. Portanto
A derivada parcial em
Para
Passo 4
Agora a segunda derivada parcial em
: derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Aplicando a regra do produto (ou simplesmente a regra do poder em
):
Explicando:
é constante em relação a
, e
, então sobra
.
Passo 5
Calculemos a primeira derivada parcial em relação a
. Aqui
é tratado como constante.
Derivando
em relação a
:
-
pela regra do poder. -
porque é constante e a derivada de é .
Portanto
Passo 6
Agora a segunda derivada parcial em
: derivamos
em relação a
. A derivada de
é
e de
é zero (pois
é constante em relação a
). Logo
Passo 7
Somamos as segundas derivadas para formar o Laplaciano:
Passo 8
Interpretação final: para que
seja solução da equação de Laplace precisamos de
para todos os pontos
do domínio. Aqui obtivemos
, que é zero apenas quando
. Isso significa que
não satisfaz a equação de Laplace em toda a região (isto é, não é uma função harmônica globalmente); ela satisfaz somente na linha
, mas isso não basta para ser considerada harmônica no plano inteiro.
Resposta
Não.
, que é nulo apenas quando
, logo
não satisfaz a equação de Laplace em geral.