Calcule todas as derivadas parciais de terceira ordem da função de produção Q=4 K^{3 / 4} L^{1 / 4}. Use o teorema de Schwarz para acelerar o processo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de terceira ordem da função de produção Q = 4 K^{3/4} L^{1/4}.
Informações dadas e condições relevantes:
  • As variáveis são \,K e \,L.
  • A função está escrita como produto de potências: 4 é constante, K^{3/4} e L^{1/4} são potências.
  • Para que as potências racionais sejam reais assumimos K>0 e L>0 (isso também garante existência e continuidade das derivadas necessárias).
  • O enunciado sugere: use o teorema de Schwarz (ou seja, as derivadas mistas com permutações de ordem são iguais quando as derivadas são contínuas), o que reduz o trabalho de cálculo.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de primeira ordem. Regra que vamos usar: a derivada de \,x^{n} em relação a x é \,n x^{n-1} (regra da potência). Quando diferenciamos em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.
Derivada parcial de Q em relação a \,K:
Q_K = \frac{\partial}{\partial K}\big(4 K^{3/4} L^{1/4}\big) = 4\cdot\frac{3}{4} K^{3/4-1} L^{1/4} = 3 K^{-1/4} L^{1/4}.
Derivada parcial de Q em relação a \,L:
Q_L = \frac{\partial}{\partial L}\big(4 K^{3/4} L^{1/4}\big) = 4\cdot\frac{1}{4} K^{3/4} L^{1/4-1} = K^{3/4} L^{-3/4}.
Explicação rápida: as constantes 4 e as potências da variável que não diferenciamos ficam multiplicando normalmente; aplicamos a regra da potência à variável que diferenciamos.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Podemos derivar Q_K e Q_L em relação a K e L.
Derivada segunda em K:
Q_{KK} = \frac{\partial}{\partial K}\big(3 K^{-1/4} L^{1/4}\big) = 3\cdot\big(-\tfrac{1}{4}\big) K^{-1/4-1} L^{1/4} = -\tfrac{3}{4} K^{-5/4} L^{1/4}.
Derivada mista (uma forma) Q_{KL} (derivamos Q_K em relação a L):
Q_{KL} = \frac{\partial}{\partial L}\big(3 K^{-1/4} L^{1/4}\big) = 3 K^{-1/4}\cdot\tfrac{1}{4} L^{1/4-1} = \tfrac{3}{4} K^{-1/4} L^{-3/4}.
Derivada segunda em L:
Q_{LL} = \frac{\partial}{\partial L}\big(K^{3/4} L^{-3/4}\big) = K^{3/4}\cdot\big(-\tfrac{3}{4}\big) L^{-3/4-1} = -\tfrac{3}{4} K^{3/4} L^{-7/4}.
Comentário didático: note que Q_{KL} e Q_{LK} serão iguais pela continuidade (teorema de Schwarz), então não precisamos calcular Q_{LK} separadamente; vou usar isso adiante para economizar trabalho.

Passo 4

Antes de calcular as derivadas de terceira ordem, vamos listar quais derivadas de terceira ordem existem (com duas variáveis): existem quatro tipos essenciais (considerando a igualdade por permutações):
  • \,Q_{KKK} (terceira derivada toda em K),
  • \,Q_{KKL} (duas vezes em K e uma em L; todas as permutações como Q_{KLK},Q_{LKK} são iguais por Schwarz),
  • \,Q_{KLL} (uma vez em K e duas em L; igual a quaisquer permutações como Q_{LKL},Q_{LLK}),
  • \,Q_{LLL} (terceira derivada toda em L).
Usando o teorema de Schwarz: como todas as derivadas necessárias são contínuas para K>0, L>0, as derivadas mistas obtidas por permutar a ordem coincidem. Assim precisamos efetivamente calcular só essas quatro.

Passo 5

Calculemos cada uma das quatro derivadas de terceira ordem, derivando as segundas ordens que já obtivemos.
  1. \,Q_{KKK}: derivar Q_{KK} = -\tfrac{3}{4} K^{-5/4} L^{1/4} em relação a K:
Q_{KKK} = -\tfrac{3}{4}\cdot\big(-\tfrac{5}{4}\big) K^{-5/4-1} L^{1/4} = \tfrac{15}{16} K^{-9/4} L^{1/4}.
  1. \,Q_{KKL}: derivar Q_{KK} = -\tfrac{3}{4} K^{-5/4} L^{1/4} em relação a L (ou derivar Q_{KL} em relação a K, dá o mesmo pela igualdade mista):
Q_{KKL} = -\tfrac{3}{4} K^{-5/4}\cdot\tfrac{1}{4} L^{1/4-1} = -\tfrac{3}{16} K^{-5/4} L^{-3/4}.
  1. \,Q_{KLL}: derivar Q_{KL} = \tfrac{3}{4} K^{-1/4} L^{-3/4} em relação a L (ou derivar Q_{LL} em relação a K):
Q_{KLL} = \tfrac{3}{4} K^{-1/4}\cdot\big(-\tfrac{3}{4}\big) L^{-3/4-1} = -\tfrac{9}{16} K^{-1/4} L^{-7/4}.
  1. \,Q_{LLL}: derivar Q_{LL} = -\tfrac{3}{4} K^{3/4} L^{-7/4} em relação a L:
Q_{LLL} = -\tfrac{3}{4}\cdot\big(-\tfrac{7}{4}\big) K^{3/4} L^{-7/4-1} = \tfrac{21}{16} K^{3/4} L^{-11/4}.
Verificação rápida (consistência): sinais e potências seguem a regra da potência aplicada sucessivamente; coeficientes são produtos dos fatores resultantes dos expoentes decrescentes.

Resposta

\,Q_{KKK} = \dfrac{15}{16} K^{-9/4} L^{1/4} \n
\,Q_{KKL} = -\dfrac{3}{16} K^{-5/4} L^{-3/4} \n
\,Q_{KLL} = -\dfrac{9}{16} K^{-1/4} L^{-7/4} \n
\,Q_{LLL} = \dfrac{21}{16} K^{3/4} L^{-11/4}

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