Calcule todas as derivadas parciais de terceira ordem da função de produção
. Use o teorema de Schwarz para acelerar o processo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de terceira ordem da função de produção
Informações dadas e condições relevantes:
- As variáveis são
e . - A função está escrita como produto de potências:
é constante, e são potências. - Para que as potências racionais sejam reais assumimos
e (isso também garante existência e continuidade das derivadas necessárias). - O enunciado sugere: use o teorema de Schwarz (ou seja, as derivadas mistas com permutações de ordem são iguais quando as derivadas são contínuas), o que reduz o trabalho de cálculo.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de primeira ordem. Regra que vamos usar: a derivada de
em relação a
é
(regra da potência). Quando diferenciamos em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Explicação rápida: as constantes
e as potências da variável que não diferenciamos ficam multiplicando normalmente; aplicamos a regra da potência à variável que diferenciamos.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Podemos derivar
e
em relação a
e
.
Derivada segunda em
:
Derivada mista (uma forma)
(derivamos
em relação a
):
Derivada segunda em
:
Comentário didático: note que
e
serão iguais pela continuidade (teorema de Schwarz), então não precisamos calcular
separadamente; vou usar isso adiante para economizar trabalho.
Passo 4
Antes de calcular as derivadas de terceira ordem, vamos listar quais derivadas de terceira ordem existem (com duas variáveis): existem quatro tipos essenciais (considerando a igualdade por permutações):
-
(terceira derivada toda em ), -
(duas vezes em e uma em ; todas as permutações como são iguais por Schwarz), -
(uma vez em e duas em ; igual a quaisquer permutações como ), -
(terceira derivada toda em ).
Usando o teorema de Schwarz: como todas as derivadas necessárias são contínuas para
, as derivadas mistas obtidas por permutar a ordem coincidem. Assim precisamos efetivamente calcular só essas quatro.
Passo 5
Calculemos cada uma das quatro derivadas de terceira ordem, derivando as segundas ordens que já obtivemos.
-
: derivar em relação a :
-
: derivar em relação a (ou derivar em relação a , dá o mesmo pela igualdade mista):
-
: derivar em relação a (ou derivar em relação a ):
-
: derivar em relação a :
Verificação rápida (consistência): sinais e potências seguem a regra da potência aplicada sucessivamente; coeficientes são produtos dos fatores resultantes dos expoentes decrescentes.