Em um estudo de viabilidade de uma estrutura para poder ser utilizada em um evento, você foi solicitado(a) a verificar a carga axial de compressão máxima que poderá ser aplicada em uma barra da estrutura, admitindo um coeficiente de segurança igual a 2,5 . Sabe-se que a barra biengastada possui 180 cm de comprimento e 35 mm de diâmetro, com módulo de elasticidade de 210 GPa . Nestas condições, qual a carga máxima que poderá ser aplicada e qual a tensão máxima que poderá ser gerada?

Passo 1

O que o enunciado dá (dados que vou usar):
  • Barra biengastada (ambas extremidades articuladas).
  • Comprimento: L=180\\ \text{cm} = 1,8\\ \text{m}.
  • Diâmetro: d=35\\ \text{mm} = 0,035\\ \text{m}.
  • Módulo de elasticidade: E=210\\ \text{GPa} = 210\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Coeficiente de segurança (fator de segurança): SF=2,5.
O que o enunciado pede:
  • A carga axial máxima que poderá ser aplicada (admitindo SF=2,5).
  • A tensão máxima que poderá ser gerada na barra por essa carga.

Passo 2

Qual a ideia física e a fórmula que vou usar (explicação didática):
  • Como a barra é esbelta e está sujeita à compressão, o limite de carga geralmente é dado pela flambagem (Euler). A carga crítica de flambagem de Euler para uma coluna com comprimento efetivo L_e é dada por:
P_{cr}=\frac{\pi^{2}EI}{L_{e}^{2}}.
  • Explicando cada termo:
    • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (força em N).
    • \pi é a constante pi.
    • E é o módulo de elasticidade (Pa = N/m^{2}).
    • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro (m^{4}).
    • L_{e} é o comprimento efetivo da coluna (m); para extremidades ambas articuladas (biengastada) vale L_{e}=L (fator de comprimento efetivo K=1).
  • Para a seção circular:
    • Área da seção: \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
    • Momento de inércia: \displaystyle I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
  • A carga admissível com fator de segurança SF é:
P_{adm}=\frac{P_{cr}}{SF}.
  • A tensão axial máxima gerada por essa carga admissível é:
\sigma_{adm}=\frac{P_{adm}}{A}.

Passo 3

Cálculo das propriedades da seção (mostrando as contas passo a passo):
  • Primeiro d^{2} e d^{4}:
d^{2}=(0,035)^{2}=0,001225\\ \text{m}^{2}, \qquad d^{4}=(0,001225)^{2}=1{,}500625\times10^{-6}\\ \text{m}^{4}.
  • Área:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot0,001225}{4} =\frac{3{,}14159265\cdot0,001225}{4} =0,00096211275\\ \text{m}^{2}\approx9{,}621\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
  • Momento de inércia:
I=\frac{\pi d^{4}}{64}=\frac{\pi\cdot1{,}500625\times10^{-6}}{64} =7{,}363107656\times10^{-8}\\ \text{m}^{4}\approx7{,}363\times10^{-8}\\ \text{m}^{4}.

Passo 4

Cálculo da carga crítica de Euler P_{cr}:
  • Comprimento efetivo L_{e}=L=1{,}8\\ \text{m} (biengastada).
  • Aplicando a fórmula:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{L_{e}^{2}}.
  • Substituindo os valores (mostrando os passos numéricos):
\pi^{2}\approx9{,}869604401,
E I = 210\times10^{9}\times7{,}363107656\times10^{-8} =15462{,}526078125\\ \text{(unidade: N}\cdot\text{m}^{2}\text{)},
\pi^{2} E I =9{,}869604401\times15462{,}526078125\approx152611{,}51.
L_{e}^{2}=(1{,}8)^{2}=3{,}24.
P_{cr}=\frac{152611{,}51}{3{,}24}\approx47117{,}0\\ \text{N}\approx47{,}12\\ \text{kN}.

Passo 5

Aplicando o coeficiente de segurança para obter a carga máxima admissível:
P_{adm}=\frac{P_{cr}}{SF}=\frac{47117{,}0}{2{,}5}=18846{,}8\\ \text{N}\approx18{,}85\\ \text{kN}.
Comentário curto e amigo: então, por segurança (SF = 2,5), só podemos aplicar cerca de 18{,}85\\ \text{kN} nessa barra antes de estarmos no limite aceitável.

Passo 6

Cálculo da tensão máxima admissível gerada por essa carga:
\sigma_{adm}=\frac{P_{adm}}{A}=\frac{18846{,}8}{0{,}00096211275}\\ \text{Pa}.
Fazendo a divisão:
\sigma_{adm}\approx1{,}9589\times10^{7}\\ \text{Pa}=19{,}59\\ \text{MPa}\approx19{,}6\\ \text{MPa}.
Interpretação: essa é a tensão média axial (força dividida pela área) correspondente à carga admissível com o fator de segurança. Note que essa tensão está bem abaixo do limite elástico de aços comuns, mas o controle aqui é pela flambagem, não pela resistência do material.

Passo 7

Resumo numérico rápido para conferência (valores importantes calculados):
  • Momento de inércia: I\approx7{,}363\times10^{-8}\\ \text{m}^{4}.
  • Área: A\approx9{,}621\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
  • Carga crítica de Euler: P_{cr}\approx47{,}117\\ \text{N}.
  • Carga admissível (com SF=2{,}5): P_{adm}\approx18{,}846{,}8\\ \text{N}.
  • Tensão admissível correspondente: \sigma_{adm}\approx19{,}6\\ \text{MPa}.

Resposta

P_{\max}=18{,}846{,}8\\ \text{N}\approx18{,}85\\ \text{kN}
\sigma_{\max}=19{,}6\\ \text{MPa}

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