Qual o menor diâmetro para uma barra de 50 cm de comprimento suportar uma carga de 30 kN sem flambar considerando que encontra-se apoiada sem rolete em ambas as extremidades?
Considere:
\begin{aligned} & \sigma e=260 \mathrm{MPa} \\\ & \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o menor diâmetro de uma barra cilíndrica de comprimento 50\\ \mathrm{cm} que suporte uma carga axial de 30\\ \mathrm{kN} sem flambar, sabendo que a barra está apoiada nas duas extremidades “sem rolete” (ou seja, apoiada de modo simples em ambas as extremidades). As informações fornecidas são:
  • Carga aplicada: P=30\\ \mathrm{kN}.
  • Comprimento da barra: L=50\\ \mathrm{cm}.
  • Tensão admissível à compressão: \sigma_e=260\\ \mathrm{MPa}.
  • Módulo de elasticidade: E=200\\ \mathrm{GPa}.
O que se pede: determinar o menor diâmetro d tal que a barra não flambeie sob P. Além disso, deve-se garantir que a tensão de compressão direta não ultrapasse \sigma_e. Vou usar apenas os dados acima (sem perguntar nada).

Passo 2

Entendendo o critério de flambagem (Euler) — resumo didático:
  • Para colunas esbeltas com extremidades articuladas (apoiadas simples/pinned-pinned) o carregamento crítico de flambagem segundo Euler é
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2},
onde:
  • P_{\text{cr}} é a carga crítica de flambagem (N),
  • E é o módulo de elasticidade (Pa),
  • I é o momento de inércia da seção transversal em torno do eixo de flambagem (m^4),
  • L é o comprimento da barra (m),
  • K é o fator de comprimento efetivo (adimensional). Para ambas as extremidades articuladas vale K=1.
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d, o momento de inércia em relação ao eixo neutro é
I=\frac{\pi d^4}{64}.
O procedimento: exigir que P_{\text{cr}}\ge P para evitar flambagem. Isso dá uma fórmula para d. Além disso, verificar que a tensão normal
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{4P}{\pi d^2}
não excede \sigma_e. Assim há duas condições sobre d; a resposta final será o maior diâmetro exigido por essas duas condições.

Passo 3

Converter os dados para unidades SI:
\begin{aligned} P&=30\\ \mathrm{kN}=30\,000\\ \mathrm{N},\\\ L&=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m},\\\ E&=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},\\\ \sigma_e&=260\\ \mathrm{MPa}=260\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
Aplicando P_{\text{cr}}=\dfrac{\pi^2 E I}{L^2} com I=\dfrac{\pi d^4}{64} e K=1:
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2 E}{L^2}\cdot\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi^3 E d^4}{64 L^2}.
Exigindo P_{\text{cr}}\ge P e isolando d:
d^4=\frac{64 L^2 P}{\pi^3 E}, \qquad d=\left(\frac{64 L^2 P}{\pi^3 E}\right)^{1/4}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos (fazendo as contas passo a passo):
\begin{aligned} L^2&=(0,50)^2=0,25\\ \mathrm{m}^2,\\\\ 64L^2P&=64\cdot0,25\cdot30\,000=64\cdot7\,500=480\,000,\\\ \pi^3E&\approx(3{,}14159265)^3\cdot200\times10^{9}\approx31{,}0063\cdot200\times10^{9}=6{,}20126\times10^{12}. \end{aligned}
Logo
d^4=\frac{480\,000}{6{,}20126\times10^{12}}\approx7{,}7429\times10^{-8}.
Tomando a raiz quarta:
d=\left(7{,}7429\times10^{-8}\right)^{1/4}\approx0{,}01667\\ \mathrm{m}=16{,}67\\ \mathrm{mm}.
Portanto o diâmetro exigido para evitar flambagem pela condição de Euler é aproximadamente 16{,}67\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Agora verificar a condição de resistência à compressão direta (tensão admissível):
A tensão atuante é
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{4P}{\pi d^2}.
Para que \sigma\le\sigma_e é necessário
d^2\ge\frac{4P}{\pi\sigma_e}, \qquad d\ge\sqrt{\frac{4P}{\pi\sigma_e}}.
Calcular numericamente:
\begin{aligned} 4P&=4\cdot30\,000=120\,000,\\\ \pi\sigma_e&\approx3{,}14159265\cdot260\times10^{6}=816{,}814\times10^{6}=8{,}16814\times10^{8},\\\ \frac{4P}{\pi\sigma_e}&=\frac{120\,000}{8{,}16814\times10^{8}}\approx1{,}4695\times10^{-4},\\\ d&\ge\sqrt{1{,}4695\times10^{-4}}\approx0{,}01212\\ \mathrm{m}=12{,}12\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
Assim, pela verificação de tensão pura, bastaria d\ge12{,}12\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Comparar as duas exigências:
  • Condição de flambagem (Euler): d\ge16{,}67\\ \mathrm{mm}.
  • Condição de resistência direta: d\ge12{,}12\\ \mathrm{mm}.
Como é necessário satisfazer ambas, o menor diâmetro admissível é o maior desses valores:
d_{\min}=16{,}67\\ \mathrm{mm}.
Observação prática: em projeto normalmente arredonda-se para um valor comercial disponível e inclui-se fator de segurança; aqui foi dado apenas o critério para não flambar e para não ultrapassar \sigma_e.

Resposta

d_{\min}=16{,}67\\ \mathrm{mm}

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