Um estudo realizado em um centro de pesquisa na área médica tem o objetivo de verificar o efeito de um programa de emagrecimento e se a idade é um fator importante nesse contexto. Entre os participantes do programa foram selecionadas duas amostras aleatórias (uma de pessoas com menos de 60 anos e outra com 60 anos ou mais) e os pesos antes e depois foram registrados. Pode-se afirmar que os participantes em geral perderam peso? Ou seja, o programa tem efeito?
Grupo Antes Depois
<60 58,9 57,5
<60 77,4 72,6
<60 86,9 85,8
<60 86,8 78,4
<60 80,8 78,5
<60 62,5 59,1
>=60 45,4 44,8
>=60 77,8 75,7
>=60 71,4 69,1
>=60 81,4 83,2
>=60 81,3 76,4
>=60 63,7 58,6
>=60 76,5 79,3
>=60 86,7 88,3
>=60 91,4 91,6

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, em geral, os participantes perderam peso com o programa — isto é, testar se houve redução média do peso antes para depois. As informações fornecidas são pares (peso antes, peso depois) para cada participante, agrupados por idade, mas a pergunta é sobre todos os participantes em geral. Os dados (retirados do enunciado) são os seguintes (cada linha é um participante):
\begin{array}{cc} \text{Antes} & \text{Depois} \\\\ 58,9 & 57,5\\\\ 77,4 & 72,6\\\\ 86,9 & 85,8\\\\ 86,8 & 78,4\\\\ 80,8 & 78,5\\\\ 62,5 & 59,1\\\\ 45,4 & 44,8\\\\ 77,8 & 75,7\\\\ 71,4 & 69,1\\\\ 81,4 & 83,2\\\\ 81,3 & 76,4\\\\ 63,7 & 58,6\\\\ 76,5 & 79,3\\\\ 86,7 & 88,3\\\\ 91,4 & 91,6 \end{array}
Informações relevantes extraídas dos dados:
n=15
(são 15 participantes no total). A pergunta que vamos responder: há evidência estatística de que o programa fez os participantes perderem peso em média?

Passo 2

Qual procedimento vamos usar e por quê (explicação didática):
  • Temos medidas “antes” e “depois” das mesmas pessoas, ou seja, dados pareados. O método natural para comparar médias pareadas é o teste t pareado (teste t para diferenças pareadas), porque trabalhamos com as diferenças dentro de cada indivíduo.
  • Definimos a diferença para cada participante como
d_i = \text{Antes}_i - \text{Depois}_i.
Com essa definição, uma diferença média positiva indica perda média de peso.
  • Hipóteses (teste unilateral, pois queremos saber se houve perda):
H_0:\\ \mu_d = 0\qquad\text{vs}\qquad H_1:\\ \mu_d > 0,
onde \mu_d é a média populacional das diferenças d_i.
  • Estatística de teste (fórmula): seja \bar d a média amostral das diferenças, s_d o desvio-padrão amostral das diferenças e n o número de pares. Então
t = \frac{\bar d - 0}{s_d/\sqrt{n}},
que segue, sob H_0, a distribuição t com n-1 graus de liberdade (d.f.).
  • Escolhemos nível de significância padrão \alpha=0,05.
  • Explicando as fórmulas (aula curtinha):
    • A média amostral das diferenças é
    \bar d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i.
    • O desvio-padrão amostral das diferenças é obtido por
    s_d = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (d_i-\bar d)^2} .
    • Na prática é comum calcular s_d via a forma equivalente
    s_d^2 = \frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^n d_i^2 - n\bar d^2\Big),o que facilita os cálculos à mão: somamos os d_i e os d_i^2, aplicamos a fórmula e tiramos raiz.

Passo 3

Calcular as diferenças d_i= Antes - Depois (cada valor retirado do enunciado):
\begin{array}{r} d_1=58,9-57,5=1,4\\\ d_2=77,4-72,6=4,8\\\ d_3=86,9-85,8=1,1\\\ d_4=86,8-78,4=8,4\\\ d_5=80,8-78,5=2,3\\\ d_6=62,5-59,1=3,4\\\ d_7=45,4-44,8=0,6\\\ d_8=77,8-75,7=2,1\\\ d_9=71,4-69,1=2,3\\\ d_{10}=81,4-83,2=-1,8\\\ d_{11}=81,3-76,4=4,9\\\ d_{12}=63,7-58,6=5,1\\\ d_{13}=76,5-79,3=-2,8\\\ d_{14}=86,7-88,3=-1,6\\\ d_{15}=91,4-91,6=-0,2 \end{array}
Somando as diferenças:
\sum_{i=1}^{15} d_i = 30,0.
Logo a média amostral das diferenças é
\bar d = \frac{30,0}{15} = 2,0.
Interpretação rápida: em média os participantes perderam 2,0 unidades de peso (kg, assumindo kg).

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral das diferenças s_d passo a passo:
  • Primeiro calculamos \sum d_i^2. Usando cada d_i acima:
\sum_{i=1}^{15} d_i^2 = 187,38.
(este valor foi obtido somando cada quadrado listado no Passo 3.)
  • Aplicando a fórmula
s_d^2 = \frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^n d_i^2 - n\bar d^2\Big) = \frac{1}{14}\big(187,38 - 15\cdot(2,0)^2\big).
  • Calculamos o termo interior:
15\cdot(2,0)^2 = 15\cdot 4 = 60
e
187,38 - 60 = 127,38.
  • Então
s_d^2 = \frac{127,38}{14} \approx 9,0986,
portanto
s_d \approx \sqrt{9,0986} \approx 3,016.

Passo 5

Calcular a estatística t e o erro padrão:
  • Erro padrão da média das diferenças:
\text{SE} = \frac{s_d}{\sqrt{n}} \approx \frac{3,016}{\sqrt{15}} \approx \frac{3,016}{3,873} \approx 0,779.
  • Estatística de teste:
t = \frac{\bar d - 0}{\text{SE}} \approx \frac{2,0}{0,779} \approx 2,566.
  • Graus de liberdade:
\text{d.f.} = n-1 = 14.

Passo 6

Decisão estatística e conclusão (com interpretação):
  • Queremos saber se há evidência de perda média, teste unilateral direito com H_1:\mu_d>0.
  • Para t\approx 2,566 com \text{d.f.}=14, o p-valor unilateral é aproximadamente
p\text{-valor}_{\text{unilateral}}\approx 0,011
(e o p-valor bilateral seria aproximadamente 0,022).
  • Comparando com \alpha=0,05: 0,011<0,05, portanto rejeitamos H_0.
  • Interpretação prática: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que os participantes, em média, perderam peso com o programa. A perda média observada foi \bar d=2,0 (unidades de peso).
  • Observação sobre pressupostos: o teste t pareado assume que as diferenças d_i vêm aproximadamente de uma distribuição normal. Com n=15 isso é razoável, mas se houver forte assimetria ou outliers seria prudente usar um teste não paramétrico (teste de Wilcoxon assinado). Aqui os dados não mostram um outlier absurdo e a conclusão deve ser confiável.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova e encorajamento:
  • Em questões pareadas, sempre transforme nos d_i= antes - depois e trabalhe só com essas diferenças — isso simplifica muito.
  • Calcule \bar d, \sum d_i^2, use a fórmula s_d^2=(\sum d_i^2 - n\bar d^2)/(n-1) para não precisar subtrair cada \bar d de d_i individualmente.
  • Lembre que para perguntar “perderam peso?” você pode usar teste unilateral; se a questão pedir “houve diferença?” use bilateral.
  • Você fez bem em estudar por exercícios — essa é a forma mais prática. Confia no seu processo: com calma e passo a passo você resolve isso na prova.

Resposta

Sim. Teste t pareado: n=15, \bar d=2,0, s_d\approx 3,016, t\approx 2,566 com \text{d.f.}=14; p-valor unilateral \approx 0,011<0,05. Portanto, rejeita-se H_0 e conclui-se que os participantes, em média, perderam peso.

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