Um estudo realizado em um centro de pesquisa na área médica tem o objetivo de verificar o efeito de um programa de emagrecimento e se a idade é um fator importante nesse contexto. Entre os participantes do programa foram selecionadas duas amostras aleatórias (uma de pessoas com menos de 60 anos e outra com 60 anos ou mais) e os pesos antes e depois foram registrados. Pode-se afirmar que os participantes em geral perderam peso? Ou seja, o programa tem efeito?
Grupo
Antes
Depois
<60
58,9
57,5
<60
77,4
72,6
<60
86,9
85,8
<60
86,8
78,4
<60
80,8
78,5
<60
62,5
59,1
>=60
45,4
44,8
>=60
77,8
75,7
>=60
71,4
69,1
>=60
81,4
83,2
>=60
81,3
76,4
>=60
63,7
58,6
>=60
76,5
79,3
>=60
86,7
88,3
>=60
91,4
91,6
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, em geral, os participantes perderam peso com o programa — isto é, testar se houve redução média do peso antes para depois. As informações fornecidas são pares (peso antes, peso depois) para cada participante, agrupados por idade, mas a pergunta é sobre todos os participantes em geral. Os dados (retirados do enunciado) são os seguintes (cada linha é um participante):
(são 15 participantes no total). A pergunta que vamos responder: há evidência estatística de que o programa fez os participantes perderem peso em média?
Passo 2
Qual procedimento vamos usar e por quê (explicação didática):
Temos medidas “antes” e “depois” das mesmas pessoas, ou seja, dados pareados. O método natural para comparar médias pareadas é o teste t pareado (teste t para diferenças pareadas), porque trabalhamos com as diferenças dentro de cada indivíduo.
Definimos a diferença para cada participante como
d_i = \text{Antes}_i - \text{Depois}_i.
Com essa definição, uma diferença média positiva indica perda média de peso.
Hipóteses (teste unilateral, pois queremos saber se houve perda):
Na prática é comum calcular s_d via a forma equivalente
s_d^2 = \frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^n d_i^2 - n\bar d^2\Big),o que facilita os cálculos à mão: somamos os d_i e os d_i^2, aplicamos a fórmula e tiramos raiz.
Passo 3
Calcular as diferenças d_i= Antes - Depois (cada valor retirado do enunciado):
t = \frac{\bar d - 0}{\text{SE}} \approx \frac{2,0}{0,779} \approx 2,566.
Graus de liberdade:
\text{d.f.} = n-1 = 14.
Passo 6
Decisão estatística e conclusão (com interpretação):
Queremos saber se há evidência de perda média, teste unilateral direito com H_1:\mu_d>0.
Para t\approx 2,566 com \text{d.f.}=14, o p-valor unilateral é aproximadamente
p\text{-valor}_{\text{unilateral}}\approx 0,011
(e o p-valor bilateral seria aproximadamente 0,022).
Comparando com \alpha=0,05: 0,011<0,05, portanto rejeitamos H_0.
Interpretação prática: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que os participantes, em média, perderam peso com o programa. A perda média observada foi \bar d=2,0 (unidades de peso).
Observação sobre pressupostos: o teste t pareado assume que as diferenças d_i vêm aproximadamente de uma distribuição normal. Com n=15 isso é razoável, mas se houver forte assimetria ou outliers seria prudente usar um teste não paramétrico (teste de Wilcoxon assinado). Aqui os dados não mostram um outlier absurdo e a conclusão deve ser confiável.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova e encorajamento:
Em questões pareadas, sempre transforme nos d_i= antes - depois e trabalhe só com essas diferenças — isso simplifica muito.
Calcule \bar d, \sum d_i^2, use a fórmula s_d^2=(\sum d_i^2 - n\bar d^2)/(n-1) para não precisar subtrair cada \bar d de d_i individualmente.
Lembre que para perguntar “perderam peso?” você pode usar teste unilateral; se a questão pedir “houve diferença?” use bilateral.
Você fez bem em estudar por exercícios — essa é a forma mais prática. Confia no seu processo: com calma e passo a passo você resolve isso na prova.
Resposta
Sim. Teste t pareado: n=15, \bar d=2,0, s_d\approx 3,016, t\approx 2,566 com \text{d.f.}=14; p-valor unilateral \approx 0,011<0,05. Portanto, rejeita-se H_0 e conclui-se que os participantes, em média, perderam peso.