Obtenha a \sigma-álgebra gerada pela classe \{\{0,1\},\{1,2\}\} se,
\Omega=\{0,1,2,3\}.

Passo 1

O enunciado pede: obter a \sigma-álgebra gerada pela classe \{\{0,1\},\{1,2\}\} quando \Omega=\{0,1,2,3\}.\n
Informações dadas:
  • \Omega=\{0,1,2,3\}.
  • A classe geradora é \mathcal{C}=\{\{0,1\},\{1,2\}\}.
  • A tarefa é encontrar \sigma(\mathcal{C}), a menor \sigma-álgebra que contém todos os conjuntos de \mathcal{C}.

Passo 2

O que é preciso lembrar (explicando devagar): uma \sigma-álgebra \mathcal{F} sobre \Omega é uma coleção de subconjuntos de \Omega que satisfaz:
  1. \Omega\in\mathcal{F}.
  2. Se E\in\mathcal{F} então o complemento E^c\in\mathcal{F}.
  3. Se E_1,E_2,\dots\in\mathcal{F} então \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\in\mathcal{F}.\n
    Consequências úteis (que vamos usar): fechamento por complementos + união (contável) implica fechamento por interseções (por De Morgan) e por diferença de conjuntos, porque A\setminus B = A\cap B^c. Em \Omega finito, “contável” é automático: fechamentos finitos já resolvem.

Passo 3

Vamos nomear os conjuntos geradores para ficar mais claro:
  • A=\{0,1\}.
  • B=\{1,2\}.\n
    Como \sigma(\mathcal{C}) contém A e B e é fechada por complementos, ela contém também:
  • A^c=\Omega\setminus A=\{2,3\}.
  • B^c=\Omega\setminus B=\{0,3\}.
Também, por fechamento por interseções e uniões, \sigma(\mathcal{C}) contém:
  • A\cap B=\{0,1\}\cap\{1,2\}=\{1\}.
  • A\cup B=\{0,1\}\cup\{1,2\}=\{0,1,2\}.

Passo 4

Agora mostro explicitamente como obter cada singleton (isso é útil: se todos os singletons estão na \sigma-álgebra, então todas as uniões deles também estão, e assim obtemos toda a potência de \Omega). Usando interseção com complementos (operacão permitida numa \sigma-álgebra):
  • \{0\} = A\cap B^c. Verificação: A\cap B^c=\{0,1\}\cap\{0,3\}=\{0\}.
  • \{2\} = B\cap A^c. Verificação: B\cap A^c=\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}.
  • \{1\} = A\cap B (já calculado).
  • \{3\} = (A\cup B)^c. Verificação: (A\cup B)^c=\{0,1,2\}^c=\{3\}.
Portanto \{0\},\{1\},\{2\},\{3\}\in\sigma(\mathcal{C}).

Passo 5

Se todos os singletons \{0\},\{1\},\{2\},\{3\} pertencem a \sigma(\mathcal{C}), então qualquer subconjunto de \Omega é união (finita) de alguns desses singletons. Como \sigma(\mathcal{C}) é fechada por uniões contáveis, ela contém todas essas uniões. Logo todos os subconjuntos de \Omega estão em \sigma(\mathcal{C}). Em outras palavras, \sigma(\mathcal{C}) contém a potência inteira \mathcal{P}(\Omega).

Passo 6

Finalmente, \mathcal{P}(\Omega) já é uma \sigma-álgebra (a maior possível), e contém \mathcal{C}. Como \sigma(\mathcal{C}) é a menor \sigma-álgebra que contém \mathcal{C}, e vimos que \mathcal{P}(\Omega)\subseteq\sigma(\mathcal{C}) (pelo passo anterior) e \sigma(\mathcal{C})\subseteq\mathcal{P}(\Omega) por definição, concluímos que \sigma(\mathcal{C})=\mathcal{P}(\Omega).

Resposta

\sigma\big(\{\{0,1\},\{1,2\}\}\big)=\mathcal{P}(\{0,1,2,3\})

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