Obtenha a
-álgebra gerada pela classe
se,
.
Passo 1
O enunciado pede: obter a
-álgebra gerada pela classe
quando
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. - A classe geradora é
. - A tarefa é encontrar
, a menor -álgebra que contém todos os conjuntos de .
Passo 2
O que é preciso lembrar (explicando devagar): uma
-álgebra
sobre
é uma coleção de subconjuntos de
que satisfaz:
-
. - Se
então o complemento . - Se
então .\n
Consequências úteis (que vamos usar): fechamento por complementos + união (contável) implica fechamento por interseções (por De Morgan) e por diferença de conjuntos, porque. Em finito, “contável” é automático: fechamentos finitos já resolvem.
Passo 3
Vamos nomear os conjuntos geradores para ficar mais claro:
-
. -
.\n
Comocontém e e é fechada por complementos, ela contém também: -
. -
.
Também, por fechamento por interseções e uniões,
contém:
-
. -
.
Passo 4
Agora mostro explicitamente como obter cada singleton (isso é útil: se todos os singletons estão na
-álgebra, então todas as uniões deles também estão, e assim obtemos toda a potência de
). Usando interseção com complementos (operacão permitida numa
-álgebra):
-
. Verificação: . -
. Verificação: . -
(já calculado). -
. Verificação: .
Portanto
.
Passo 5
Se todos os singletons
pertencem a
, então qualquer subconjunto de
é união (finita) de alguns desses singletons. Como
é fechada por uniões contáveis, ela contém todas essas uniões. Logo todos os subconjuntos de
estão em
. Em outras palavras,
contém a potência inteira
.
Passo 6
Finalmente,
já é uma
-álgebra (a maior possível), e contém
. Como
é a menor
-álgebra que contém
, e vimos que
(pelo passo anterior) e
por definição, concluímos que
.