Exercício 03: Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots subconjuntos de \Omega e define-se a sequência \left(B_{n}\right) da seguinte forma:
B_{1}=A_{1}, \quad B_{n}=A_{n} \cap A_{n-1}^{c} \cap A_{n-2}^{c} \cap \cdots \cap A_{1}^{c}, \quad n \geq 2 .
Mostre que a sequência \left\{B_{n}: n \geq 1\right\} é uma partição de
\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} .

Passo 1

O enunciado dá: sejam A_{1},A_{2},\ldots subconjuntos de \Omega e define-se a sequência \left(B_{n}\right) por
B_{1}=A_{1},\qquad B_{n}=A_{n}\cap A_{n-1}^{c}\cap A_{n-2}^{c}\cap\cdots\cap A_{1}^{c}\quad(n\ge2).
O que o problema pede: mostrar que a família \{B_{n}:n\ge1\} é uma partição de
\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}.
Lista das informações relevantes que temos agora:
  1. Para cada n está dada a fórmula explícita de B_{n}.
  2. Queremos provar duas coisas (definição de partição — ver passo seguinte): (i) os B_{n} são dois a dois disjuntos; (ii) a união de todos os B_{n} é exatamente \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, de modo claro e prático, o que significa “ser uma partição” (essa é a teoria mínima que precisamos).
  • Uma família de conjuntos \{C_i\}_{i\in I} é uma partição de um conjunto X se:
    1. Cada C_i está contido em X.
    2. Os C_i são dois a dois disjuntos: C_i\cap C_j=\emptyset sempre que i\neq j.
    3. A união de todos os C_i é X: \bigcup_{i\in I} C_i = X.
  • Observação prática: às vezes alguns C_i podem ser vazios; nesse caso costumamos descartar os vazios e dizer que os não vazios formam a partição. Aqui vamos mostrar as propriedades (2) e (3); a inclusão em X virá automaticamente porque cada B_n\subseteq A_n\subseteq\bigcup_{n}A_n.
Plano de ataque (sem resolver ainda): provar (A) B_n\subseteq A_n e B_i\cap B_j=\emptyset para i\neq j; (B) \bigcup_{n\ge1}B_n=\bigcup_{n\ge1}A_n. Vou executar isso passo a passo, explicando cada argumento.

Passo 3

Mostrando que cada B_{n} está contido em A_{n} (fato trivial, mas útil).
  • Pela definição, para n\ge2 temos B_{n}=A_{n}\cap (\text{outras coisas}). Logo imediatamente
B_{n}\subseteq A_{n}\quad\text{para todo }n\ge1,
já que B_{1}=A_{1} e, para n\ge2, B_n é interseção cujo primeiro fator é A_n. Assim \bigcup_{n\ge1}B_n\subseteq\bigcup_{n\ge1}A_n (união de subconjuntos é subconjunto da união).

Passo 4

Mostrando que os B_{n} são dois a dois disjuntos (prova por contradição simples).
  • Pegue i e j com i<j. Vou mostrar que B_i\cap B_j=\emptyset.
  • Suponha, para contradizer, que exista x tal que x\in B_i\cap B_j.
  • Como x\in B_i, temos x\in A_i.
  • Porém, pela definição de B_j (com j\ge2), temos B_j = A_j\cap A_{j-1}^{c}\cap\cdots\cap A_1^{c},ou seja, todo x\in B_j satisfaz x\in A_k^{c} para cada k<j. Em particular, como i<j, devemos ter x\in A_i^{c}.
  • Logo x\in A_i e x\in A_i^{c} simultaneamente, o que é impossível.
  • Conclusão: não existe tal x, portanto B_i\cap B_j=\emptyset sempre que i\neq j. Assim os B_n são dois a dois disjuntos.

Passo 5

Mostrando que a união dos B_{n} é igual à união dos A_{n}.
Fazemos isso em duas inclusões:
  1. Já mostramos em um passo anterior que
\bigcup_{n\ge1}B_n\subseteq\bigcup_{n\ge1}A_n,
porque cada B_n\subseteq A_n.
  1. Agora a inclusão contrária \bigcup_{n\ge1}A_n\subseteq\bigcup_{n\ge1}B_n.
  • Seja x\in\bigcup_{n\ge1}A_n. Então existe ao menos um índice n tal que x\in A_n.
  • Considere o conjunto de índices I_x=\{n\in\mathbb{N}\mid x\in A_n\}.Esse conjunto não é vazio (pois x pertence a algum A_n). Pelo princípio bem conhecido dos naturais (bem-ordenamento de \mathbb{N}), todo subconjunto não vazio de \mathbb{N} tem um menor elemento. Logo existe m=\min I_x.
  • Por definição de m temos x\in A_m e, para todo k<m, x\notin A_k. Isso significa exatamente que x\in A_m\cap A_{m-1}^{c}\cap\cdots\cap A_1^{c}=B_m.
  • Portanto x\in\bigcup_{n\ge1}B_n.
  • Como x foi um elemento arbitrário de \bigcup_{n\ge1}A_n, concluímos \bigcup_{n\ge1}A_n\subseteq\bigcup_{n\ge1}B_n.
Juntando as duas inclusões obtemos a igualdade
\bigcup_{n\ge1}B_n=\bigcup_{n\ge1}A_n.

Passo 6

Observações finais para fechar o raciocínio (didático e prático).
  • Já mostramos que (i) os B_n são dois a dois disjuntos e (ii) sua união é \bigcup_{n}A_n. Além disso cada B_n\subseteq\bigcup_{n}A_n. Esses são exatamente os ingredientes para dizer que a família \{B_n:n\ge1\} é uma partição de \bigcup_{n}A_n.
  • Nota prática: alguns B_n podem ser vazios (por exemplo, se A_n\subseteq\bigcup_{k<n}A_k então B_n=\emptyset). Nesse caso normalmente descartamos os vazios e os B_n não vazios formam a partição. Mas a afirmação essencial do enunciado (união = e disjunção par a par) permanece válida.

Resposta

\displaystyle B_i\cap B_j=\emptyset\\ \text{para}\\ i\neq j e \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n, portanto \{B_n:n\ge1\} é uma partição de \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n.

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