Em um estudo sobre o estado nutricional dos estudantes da rede escolar de uma cidade, decidiu-se complementar os dados antropométricos com alguns exames laboratoriais. Como não se podia exigir que os discentes fizessem estes exames, optou-se por estratificar a população segundo o nível escolar (Fundamental e Médio) e por tipo de escola (Pública e Privada), selecionado os estudantes nos estratos até termos atingindo o tamanho da amostra. A partir dos dados da tabela abaixo, determine o número de unidades que deve ser retirado de cada estrado, considerando que se efetuará uma amostra estratificada, com alocação proporcional, de tamanho n=200.
Escola Escola
Pública Privada
Fundamental 720 210
Médio 390 180

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar quantas unidades (alunos) devem ser retiradas de cada estrato quando será feita uma amostra estratificada com alocação proporcional de tamanho n=200.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Estrato “Fundamental — Pública”: N_1 = 720.
  • Estrato “Fundamental — Privada”: N_2 = 210.
  • Estrato “Médio — Pública”: N_3 = 390.
  • Estrato “Médio — Privada”: N_4 = 180.
  • Tamanho total da amostra desejada: n = 200.

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vamos usar).
  • Na alocação proporcional, cada estrato recebe um número de observações proporcional ao seu tamanho na população. A fórmula é
n_h = \frac{N_h}{N}\,n,
onde:
  • n_h é o número de unidades a tirar do estrato h;
  • N_h é o número de unidades da população no estrato h (os números da tabela);
  • N é o tamanho total da população (soma de todos os N_h);
  • n é o tamanho total da amostra (aqui n=200).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo. Sempre que aparecer uma soma ou multiplicação, mostro a conta para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Calcular o tamanho total da população N somando os estratos:
N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 720 + 210 + 390 + 180.
Agora a conta:
N = 930 + 570 = 1500.
Portanto N = 1500.

Passo 4

Calcular o fator de alocação \dfrac{n}{N}:
\frac{n}{N} = \frac{200}{1500} = \frac{2}{15}\approx 0{,}1333\ldots
É conveniente usar a fração exata \dfrac{2}{15} para contas sem arredondamento.

Passo 5

Calcular n_h para cada estrato usando n_h = N_h\cdot\dfrac{2}{15}.
  1. Para “Fundamental — Pública” ( N_1=720):
n_1 = 720\cdot\frac{2}{15} = \frac{720}{15}\cdot 2 = 48\cdot 2 = 96.
  1. Para “Fundamental — Privada” ( N_2=210):
n_2 = 210\cdot\frac{2}{15} = \frac{210}{15}\cdot 2 = 14\cdot 2 = 28.
  1. Para “Médio — Pública” ( N_3=390):
n_3 = 390\cdot\frac{2}{15} = \frac{390}{15}\cdot 2 = 26\cdot 2 = 52.
  1. Para “Médio — Privada” ( N_4=180):
n_4 = 180\cdot\frac{2}{15} = \frac{180}{15}\cdot 2 = 12\cdot 2 = 24.

Passo 6

Verificação rápida: somar as alocações para checar se totalizam n:
n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 96 + 28 + 52 + 24 = 200.
Está consistente com o tamanho da amostra n=200.
Observação prática (para a prova): quando os n_h não resultam em inteiros, arredonda-se (normalmente para o inteiro mais próximo) e ajusta-se, se necessário, distribuindo os arredondamentos de forma a manter a soma igual a n (por exemplo, dando os acréscimos aos estratos maiores).

Resposta

Fundamental — Pública: 96
Fundamental — Privada: 28
Médio — Pública: 52
Médio — Privada: 24

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