( \mathbf{2 , 0} pontos) Seja X a variável alaetória que indica o número de carros que passam por minuto em um cruzamento em determinado horário de pico, em dias úteis. E admita que X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda). A fim de estimar o parâmetro \lambda consideremos uma amostra aleatória simples, X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}, de tamanho n=5 e os seguintes estimadores:
T_{1}=0.20 X_{1}+0.20 X_{2}+0.20 X_{3}+0.20 X_{4}+0.20 X_{5}
e
T_{2}=0.30 X_{1}+0.05 X_{2}+0.30 X_{3}+0.05 X_{4}+0.30 X_{5}
a) (0.5)Classique os estimadores T_{1} e T_{2} quanto ao viés ao estimar \lambda.
b) (1.0)Segundo o critério de variância mímina, qual dentre os estimadores T_{1} e T_{2} revela-se mais eficiente para estimar \lambda ? Justifique sua resposta.
c) (0.5) Colhida uma amostra aleatoria de tamanho n=5 do número que carros que passam, por minuto, no cruzamento foram observados os seguintes valores \mathbf{x}=(15,16,27,23,16). A partir do estimador que se mostra mais eficiente, determine uma estimativa pontual para \lambda.
Lembrete: Se X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda), então \mathrm{E}(X)=\lambda e \operatorname{Var}(X)=\lambda.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, só para a gente não se perder.
  • Foi dado que X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda: \,X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)\,.
  • Então vale: \mathrm{E}(X)=\lambda e \operatorname{Var}(X)=\lambda.
  • Há uma amostra aleatória simples de tamanho n=5: X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5} (independentes e identicamente distribuídos como X).
  • Dois estimadores são propostos: T_{1}=0{,}20 X_{1}+0{,}20 X_{2}+0{,}20 X_{3}+0{,}20 X_{4}+0{,}20 X_{5}
T_{2}=0{,}30 X_{1}+0{,}05 X_{2}+0{,}30 X_{3}+0{,}05 X_{4}+0{,}30 X_{5}
  • O enunciado pede:
    (a) classificar T_{1} e T_{2} quanto ao viés ao estimar \lambda;
    (b) segundo o critério de menor variância, determinar qual é mais eficiente e justificar;
    (c) usando o estimador mais eficiente e a amostra \mathbf{x}=(15,16,27,23,16), calcular uma estimativa pontual para \lambda.

Passo 2

Definição e cálculo do viés. Lembrete rápido: o viés de um estimador T para \lambda é
\operatorname{Bias}(T)=\mathrm{E}(T)-\lambda.
Se \operatorname{Bias}(T)=0 dizemos que T é não viciado (ou vies nulo / imparcial).
Usamos a linearidade da esperança: \mathrm{E}\!\left(\sum a_i X_i\right)=\sum a_i \mathrm{E}(X_i). Como \mathrm{E}(X_i)=\lambda para cada i, temos:
Calcular \mathrm{E}(T_1):
\mathrm{E}(T_1)=0{,}20\,\mathrm{E}(X_1)+0{,}20\,\mathrm{E}(X_2)+0{,}20\,\mathrm{E}(X_3)+0{,}20\,\mathrm{E}(X_4)+0{,}20\,\mathrm{E}(X_5).
Como cada \mathrm{E}(X_i)=\lambda,
\mathrm{E}(T_1)=0{,}20\cdot5\lambda=1\cdot\lambda=\lambda.
Portanto \operatorname{Bias}(T_1)=\lambda-\lambda=0.
Calcular \mathrm{E}(T_2):
\mathrm{E}(T_2)=0{,}30\lambda+0{,}05\lambda+0{,}30\lambda+0{,}05\lambda+0{,}30\lambda.
Somando os coeficientes: 0{,}30+0{,}05+0{,}30+0{,}05+0{,}30=1{,}00. Logo
\mathrm{E}(T_2)=1{,}00\lambda=\lambda,
portanto \operatorname{Bias}(T_2)=0.

Passo 3

Conclusão sobre viés (explicação didática curta): ambos os estimadores têm esperança igual a \lambda, isto é, ambos são não viciados (viés nulo). Intuitivamente, ambos usam combinações lineares dos X_i cujos coeficientes somam 1, o que garante que a esperança da combinação seja \lambda.

Passo 4

Agora vamos comparar variâncias para julgar eficiência. Lembrete importante (aula rápida): para variáveis independentes X_i vale
\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i} a_i X_i\right)=\sum_{i} a_i^{2}\operatorname{Var}(X_i),
porque os termos de covariância são zero. Como \operatorname{Var}(X_i)=\lambda (Poisson), obtemos
\operatorname{Var}\!\left(\sum a_i X_i\right)=\lambda\sum a_i^{2}.
Aplicamos a fórmula a cada estimador.
Cálculo de \operatorname{Var}(T_1). Aqui todos os coeficientes são 0{,}20, então
\operatorname{Var}(T_1)=\lambda\bigl(5\cdot(0{,}20)^{2}\bigr)=\lambda\cdot 5\cdot 0{,}04=\lambda\cdot 0{,}20.
Portanto \operatorname{Var}(T_1)=0{,}20\,\lambda.

Passo 5

Cálculo de \operatorname{Var}(T_2). Coeficientes 0{,}30 aparecem três vezes e 0{,}05 aparecem duas vezes:
\operatorname{Var}(T_2)=\lambda\bigl(3\cdot(0{,}30)^{2}+2\cdot(0{,}05)^{2}\bigr) =\lambda\bigl(3\cdot 0{,}09 + 2\cdot 0{,}0025\bigr) =\lambda\bigl(0{,}27 + 0{,}005\bigr) =\lambda\cdot 0{,}275.

Passo 6

Comparação e escolha pelo critério de variância mínima. Para estimadores não viciados, o estimador com menor variância é considerado mais eficiente. Aqui:
\operatorname{Var}(T_1)=0{,}20\,\lambda \quad\text{e}\quad \operatorname{Var}(T_2)=0{,}275\,\lambda.
Como 0{,}20\lambda < 0{,}275\lambda (para todo \lambda>0), concluímos que T_{1} tem menor variância e, portanto, é o estimador mais eficiente entre os dois. Nota intuitiva: T_1 é simplesmente a média amostral \overline{X}=\tfrac{1}{5}\sum X_i, e a média amostral tem erro menor quando se usa pesos equilibrados em X_i.

Passo 7

Estimativa pontual usando T_1 (o mais eficiente) com a amostra dada \mathbf{x}=(15,16,27,23,16).
Primeiro soma dos observados:
15+16+27+23+16=97.
Então
T_1(\mathbf{x})=0{,}20\cdot 97=19{,}4.
Portanto a estimativa pontual de \lambda (usando o estimador mais eficiente T_1) é 19{,}4.

Resposta

a) T_{1} e T_{2} são ambos não viciados (viés nulo).
b) T_{1} é mais eficiente, pois \operatorname{Var}(T_{1})=0{,}20\,\lambda<0{,}275\,\lambda=\operatorname{Var}(T_{2}).
c) Estimativa pontual: \hat{\lambda}=19{,}4.

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