Suponha que a variável aleatória X que indica o peso, em quilogramas, de frangos criados em uma granja segue a distribuição normal com média igual a 3 kg e desvio padrão igual a 0,81 \mathrm{~kg}.
a) Colhida uma amostra aleatória simples de 36 frangos da granja, obtenha a probabilidade de que o peso médio amostral seja superior a 2,8 \mathrm{~kg}.
b) Determine o tamanho da amostra de frangos a ser colhida a fim de que o peso médio amostral difira de 3 kg em menos de 0,1 \mathrm{~kg}, com probabilidade de 99 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação: a variável aleatória X (peso em kg) tem distribuição normal com média \mu=3 e desvio padrão \sigma=0,81.
  • Pergunta (a): para uma amostra aleatória simples de tamanho n=36, calcule a probabilidade de o peso médio amostral ser superior a 2,8\\ \mathrm{kg}.
  • Pergunta (b): determine o tamanho da amostra n necessário para que o peso médio amostral difira de 3\\ \mathrm{kg} em menos de 0,1\\ \mathrm{kg} com probabilidade de 99\%.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática e passo-a-passo): quando uma população é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \bar{X} de uma amostra aleatória simples de tamanho n tem distribuição normal exatamente igual a
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\\ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Aqui \mu é a média da população e \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o desvio padrão da média amostral (chamado de erro padrão). Vou usar isso nos dois itens. Sempre que transformar um problema sobre \bar{X} em probabilidade, convém padronizar com a variável normal padrão
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},
que satisfaz Z\sim N(0,1). A tabela ou função \Phi fornece \Phi(a)=P(Z\le a).

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo.
  • Temos n=36, \mu=3, \sigma=0,81. Então o desvio padrão da média amostral é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,81}{\sqrt{36}}=\frac{0,81}{6}=0,135.
  • Queremos P(\bar{X}>2,8). Padronizando:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-3}{0,135}.
Para \bar{X}=2,8 obtemos
z=\frac{2,8-3}{0,135}=\frac{-0,2}{0,135}=-\frac{40}{27}\approx-1,4815.
(Observação sobre a fração: -0,2/0,135 = -200/135 = -40/27, daí o decimal.)
  • Então
P(\bar{X}>2,8)=P\!\left(Z> -1,4815\right).
Usando a simetria da normal padrão \Phi(-a)=1-\Phi(a) e que P(Z>-1,4815)=1-\Phi(-1,4815)=\Phi(1,4815), precisamos do valor de \Phi(1,4815).
  • Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora) obtém-se aproximadamente
\Phi(1,4815)\approx 0,9306.
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0,9306 (ou 93,06\%).

Passo 4

Interpretação curta do item (a) e dica para prova: a média amostral tem dispersão menor que a população (aqui 0,135 contra 0,81), por isso mesmo um valor 2,8 que está 0,2 abaixo da média populacional ainda tem alta chance de ocorrer como média amostral quando n é moderado. Na prova, sempre calcule primeiro o erro padrão \sigma/\sqrt{n} e depois padronize.

Passo 5

Resolvendo (b) passo a passo.
  • Queremos P\big(|\bar{X}-3|<0,1\big)=0,99. Para a normal padrão isso equivale a
P\!\left(-z_{0,995}<\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<z_{0,995}\right)=0,99,
onde z_{0,995} é o quantil da normal padrão tal que \Phi(z_{0,995})=0,995. O motivo: para probabilidade central 0,99 sobra 0,01 nas duas caudas, então cada cauda tem 0,005.
  • O requisito em termos de tamanho de erro E=0,1 fica
E = z_{0,995}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando n:
\sqrt{n}=\frac{z_{0,995}\,\sigma}{E}\quad\Rightarrow\quad n=\left(\frac{z_{0,995}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
  • Valor numérico: E=0,1, \sigma=0,81. O quantil é aproximadamente
z_{0,995}\approx 2,5758.
  • Calculando:
z_{0,995}\,\sigma \approx 2,5758\times 0,81 \approx 2,086398.
Dividindo por E=0,1 \sqrt{n}\approx 20,86398. Elevando ao quadrado:
n\approx 20,86398^{2}\approx 435,34.
  • Como n deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a probabilidade seja pelo menos 99\%, arredondamos para cima (ceiling), obtendo
n=436.

Passo 6

Resumo final didático: para (a) usei a distribuição exata de \bar{X} (pois a população é normal) e padronizei; para (b) usei o quantil da normal padrão correspondente a probabilidade central desejada e a fórmula da largura de intervalo para a média, lembrando sempre de arredondar para cima o resultado do tamanho de amostra.

Resposta

P(\bar{X}>2,8)\approx 0,9306
n=436

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