Suponha que a variável aleatória
que indica o peso, em quilogramas, de frangos criados em uma granja segue a distribuição normal com média igual a 3 kg e desvio padrão igual a
.
a) Colhida uma amostra aleatória simples de 36 frangos da granja, obtenha a probabilidade de que o peso médio amostral seja superior a
.
b) Determine o tamanho da amostra de frangos a ser colhida a fim de que o peso médio amostral difira de 3 kg em menos de
, com probabilidade de
.
a) Colhida uma amostra aleatória simples de 36 frangos da granja, obtenha a probabilidade de que o peso médio amostral seja superior a
b) Determine o tamanho da amostra de frangos a ser colhida a fim de que o peso médio amostral difira de 3 kg em menos de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação: a variável aleatória
(peso em kg) tem distribuição normal com média e desvio padrão . - Pergunta (a): para uma amostra aleatória simples de tamanho
, calcule a probabilidade de o peso médio amostral ser superior a . - Pergunta (b): determine o tamanho da amostra
necessário para que o peso médio amostral difira de em menos de com probabilidade de .
Passo 2
Conceito chave (explicação didática e passo-a-passo): quando uma população é normal com média
e desvio padrão
, a média amostral
de uma amostra aleatória simples de tamanho
tem distribuição normal exatamente igual a
Aqui
é a média da população e
é o desvio padrão da média amostral (chamado de erro padrão). Vou usar isso nos dois itens. Sempre que transformar um problema sobre
em probabilidade, convém padronizar com a variável normal padrão
que satisfaz
. A tabela ou função
fornece
.
Passo 3
Resolvendo (a) passo a passo.
- Temos
, , . Então o desvio padrão da média amostral é
- Queremos
. Padronizando:
Para
obtemos
(Observação sobre a fração:
, daí o decimal.)
- Então
Usando a simetria da normal padrão
e que
, precisamos do valor de
.
- Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora) obtém-se aproximadamente
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente
(ou
).
Passo 4
Interpretação curta do item (a) e dica para prova: a média amostral tem dispersão menor que a população (aqui
contra
), por isso mesmo um valor
que está
abaixo da média populacional ainda tem alta chance de ocorrer como média amostral quando
é moderado. Na prova, sempre calcule primeiro o erro padrão
e depois padronize.
Passo 5
Resolvendo (b) passo a passo.
- Queremos
. Para a normal padrão isso equivale a
onde
é o quantil da normal padrão tal que
. O motivo: para probabilidade central
sobra
nas duas caudas, então cada cauda tem
.
- O requisito em termos de tamanho de erro
fica
Isolando
:
- Valor numérico:
, . O quantil é aproximadamente
- Calculando:
Dividindo por
dá
. Elevando ao quadrado:
- Como
deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a probabilidade seja pelo menos , arredondamos para cima (ceiling), obtendo
Passo 6
Resumo final didático: para (a) usei a distribuição exata de
(pois a população é normal) e padronizei; para (b) usei o quantil da normal padrão correspondente a probabilidade central desejada e a fórmula da largura de intervalo para a média, lembrando sempre de arredondar para cima o resultado do tamanho de amostra.