Um estudo sobre o tempo de vida de lâmpadas LED coletou uma amostra de 100 unidades. A média observada foi de 50.000 horas com desvio padrão de 2.000 horas. Embora o fabricante não garanta a normalidade da população, explique por que é possível construir um intervalo de confiança para a média neste caso e calcule o IC de
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada:
horas. - Desvio-padrão amostral:
horas. - Nível de confiança pedido:
.
O enunciado pede duas coisas:
- Explicar por que é possível construir um intervalo de confiança para a média mesmo que a população não seja normal.
- Calcular o intervalo de confiança de
para a média.
Passo 2
Por que é possível construir o intervalo apesar da população não ser normal?
Explicação didática (sem pular etapas):
- O que nos interessa é a distribuição da média amostral
, não a distribuição individual de cada lâmpada. - O Teorema Central do Limite (TCL) diz, em termos simples, que quando tiramos amostras independentes de tamanho suficientemente grande de qualquer população com média finita e variância finita, a distribuição da média amostral
fica aproximadamente normal para amostras grandes. - Aqui o tamanho da amostra é
. Na prática de inferência estatística costuma-se considerar que amostras com já são “grandes o suficiente” para que o TCL se aplique com boa aproximação. - Logo, mesmo que a população das vidas das lâmpadas não seja normal, a distribuição de
é aproximadamente normal porque é grande. Isso permite usar a teoria de intervalos de confiança baseados na normalidade aproximada da média amostral.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança (caso prático aqui)
Quando a variância populacional
é desconhecida (como é o caso) usa-se a estatística-t de Student. A fórmula do intervalo de confiança para a média é
onde:
-
é a média amostral ( horas aqui); -
é o desvio-padrão amostral ( horas aqui); -
é o tamanho da amostra ( aqui); -
é o quantil da distribuição t de Student com graus de liberdade correspondente à cauda total . Para intervalo de confiança de temos e ; -
é o erro padrão da média (também chamado SE, standard error).
Comentário sobre escolha t vs z:
- Tecnicamente, como
é desconhecida, o procedimento correto usa a t de Student. Para grande a t fica muito próxima da normal padrão , então o efeito numérico é pequeno. Aqui vou usar a t (mais correto teoricamente) e comentar a aproximação com depois.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média
Aplicando a fórmula do erro padrão:
Explanação: a raiz quadrada de
aparece porque variâncias somam e a variância da média é
; portanto o desvio-padrão da média é
. Como não conhecemos
, usamos
.
Passo 5
Encontrar o quantil
- Para
de confiança temos , então a cauda superior é . - Com
graus de liberdade o valor crítico da t é (tabela de Student ou software):
(Esse valor vem de tabelas de t ou de cálculo numérico; se usar a normal padrão
obtém-se
, bastante próximo.)
Passo 6
Calcular a margem de erro e os limites do intervalo
Margem de erro:
Limites do intervalo:
Passos aritméticos explicados: subtrai-se e soma-se a margem de erro à média amostral; os cálculos são simples subtração/adição.
Passo 7
Interpretação e observação prática
- O intervalo de confiança de
obtido é aproximadamente horas. - Interpretação informal: com base nesta amostra e sob as condições usadas (amostra aleatória, etc.), há
de confiança de que o verdadeiro tempo médio de vida das lâmpadas esteja entre cerca de mil horas e mil horas. - Observação sobre normalidade: a razão pela qual podemos fazer essa inferência mesmo sem normalidade da população é o Teorema Central do Limite e o tamanho grande da amostra (
). A diferença numérica entre usar t ou z é pequena aqui; se alguém preferir usar obtém margem e intervalo , praticamente igual ao anterior.