Um estudo sobre o tempo de vida de lâmpadas LED coletou uma amostra de 100 unidades. A média observada foi de 50.000 horas com desvio padrão de 2.000 horas. Embora o fabricante não garanta a normalidade da população, explique por que é possível construir um intervalo de confiança para a média neste caso e calcule o IC de 99 \%.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Média amostral observada: \bar{X}=50000 horas.
  • Desvio-padrão amostral: s=2000 horas.
  • Nível de confiança pedido: 99\%.
O enunciado pede duas coisas:
  1. Explicar por que é possível construir um intervalo de confiança para a média mesmo que a população não seja normal.
  2. Calcular o intervalo de confiança de 99\% para a média.

Passo 2

Por que é possível construir o intervalo apesar da população não ser normal?
Explicação didática (sem pular etapas):
  • O que nos interessa é a distribuição da média amostral \bar{X}, não a distribuição individual de cada lâmpada.
  • O Teorema Central do Limite (TCL) diz, em termos simples, que quando tiramos amostras independentes de tamanho suficientemente grande de qualquer população com média finita e variância finita, a distribuição da média amostral \bar{X} fica aproximadamente normal para amostras grandes.
  • Aqui o tamanho da amostra é n=100. Na prática de inferência estatística costuma-se considerar que amostras com n\ge 30 já são “grandes o suficiente” para que o TCL se aplique com boa aproximação.
  • Logo, mesmo que a população das vidas das lâmpadas não seja normal, a distribuição de \bar{X} é aproximadamente normal porque n=100 é grande. Isso permite usar a teoria de intervalos de confiança baseados na normalidade aproximada da média amostral.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (caso prático aqui)
Quando a variância populacional \sigma^2 é desconhecida (como é o caso) usa-se a estatística-t de Student. A fórmula do intervalo de confiança para a média é
\bar{X}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral ( 50000 horas aqui);
  • s é o desvio-padrão amostral ( 2000 horas aqui);
  • n é o tamanho da amostra ( 100 aqui);
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade correspondente à cauda total \alpha. Para intervalo de confiança de 99\% temos \alpha=0{,}01 e 1-\alpha/2=0{,}995;
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (também chamado SE, standard error).
Comentário sobre escolha t vs z:
  • Tecnicamente, como \sigma é desconhecida, o procedimento correto usa a t de Student. Para n grande a t fica muito próxima da normal padrão z, então o efeito numérico é pequeno. Aqui vou usar a t (mais correto teoricamente) e comentar a aproximação com z depois.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média
Aplicando a fórmula do erro padrão:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2000}{\sqrt{100}}=\frac{2000}{10}=200\\ \text{horas}.
Explanação: a raiz quadrada de n aparece porque variâncias somam e a variância da média é \sigma^2/n; portanto o desvio-padrão da média é \sigma/\sqrt{n}. Como não conhecemos \sigma, usamos s.

Passo 5

Encontrar o quantil t_{0{,}995,\,99}
  • Para 99\% de confiança temos \alpha=0{,}01, então a cauda superior é 1-\alpha/2=0{,}995.
  • Com n-1=99 graus de liberdade o valor crítico da t é (tabela de Student ou software):
t_{0{,}995,\,99}\approx 2{,}626.
(Esse valor vem de tabelas de t ou de cálculo numérico; se usar a normal padrão z_{0{,}995} obtém-se 2{,}5758, bastante próximo.)

Passo 6

Calcular a margem de erro e os limites do intervalo
Margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}995,\,99}\cdot SE \approx 2{,}626\times 200 = 525{,}2\\ \text{horas}.
Limites do intervalo:
\text{Limite inferior}=\bar{X}-\text{ME}=50000-525{,}2=49474{,}8\\ \text{horas},
\text{Limite superior}=\bar{X}+\text{ME}=50000+525{,}2=50525{,}2\\ \text{horas}.
Passos aritméticos explicados: subtrai-se e soma-se a margem de erro à média amostral; os cálculos são simples subtração/adição.

Passo 7

Interpretação e observação prática
  • O intervalo de confiança de 99\% obtido é aproximadamente \left[49474{,}8,\;50525{,}2\right] horas.
  • Interpretação informal: com base nesta amostra e sob as condições usadas (amostra aleatória, etc.), há 99\% de confiança de que o verdadeiro tempo médio de vida das lâmpadas esteja entre cerca de 49{,}475 mil horas e 50{,}525 mil horas.
  • Observação sobre normalidade: a razão pela qual podemos fazer essa inferência mesmo sem normalidade da população é o Teorema Central do Limite e o tamanho grande da amostra ( n=100). A diferença numérica entre usar t ou z é pequena aqui; se alguém preferir usar z_{0{,}995}=2{,}5758 obtém margem 2{,}5758\times200=515{,}16 e intervalo \left[49484{,}84,\;50515{,}16\right], praticamente igual ao anterior.

Resposta

\displaystyle \left[49474{,}8,\;50525{,}2\right]\\ \text{horas}

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