Um engenheiro de produção analisa o tempo de secagem de uma nova resina. Ele coletou uma amostra de 16 corpos de prova e obteve uma média de 40 minutos. Considere dois cenários:
Cenário A: Sabe-se por testes anteriores que o desvio padrão populacional é 8 minutos.
Cenário B: O desvio padrão populacional é desconhecido, e o desvio padrão calculado da amostra foi 8 minutos.
(a) Calcule o IC de 95 \% para ambos os cenários.
(b) Compare as amplitudes (larguras) dos dois intervalos. Qual deles é mais largo? Explique o porquê disso ocorrer sob a ótica da incerteza.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as coisas abaixo (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
  • Tamanho da amostra: n=16.
  • Média amostral: \bar{x}=40 minutos.
  • Dois cenários:
    • Cenário A: desvio padrão populacional conhecido \sigma=8 minutos.
    • Cenário B: desvio padrão populacional desconhecido; desvio padrão amostral s=8 minutos.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o intervalo de confiança de 95\% para a média em ambos os cenários.
    (b) Comparar as amplitudes (larguras) dos dois intervalos. Indicar qual é mais largo e explicar por que isso ocorre, do ponto de vista da incerteza.

Passo 2

Conceito e fórmula para o caso com \sigma conhecido (Cenário A).
  • Quando a variância populacional é conhecida, o intervalo de confiança para a média com nível de confiança 100(1-\alpha)\% é dado por
\bar{x}\pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área central é 1-\alpha (por exemplo, para 95\% é z_{0{,}975}),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (mostra quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional).
  • Interpretação rápida: o fator z captura a variabilidade natural da média (assumindo que sabemos \sigma), e multiplicado pelo erro padrão dá a margem de erro.

Passo 3

Aplicando a fórmula no Cenário A com 95\% de confiança.
  • Para 95\% temos \alpha=0{,}05 e o quantil normal é z_{0{,}975}=1{,}96 (valor tabelado).
  • Calcular o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{16}}=\frac{8}{4}=2.
  • Margem de erro:
E_A = z_{0{,}975}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot2=3{,}92.
  • Intervalo de confiança:
\bar{x}\pm E_A \;\Rightarrow\; 40\pm3{,}92.
  • Portanto os extremos do IC são:
\text{limite inferior}_A = 40-3{,}92=36{,}08, \qquad \text{limite superior}_A = 40+3{,}92=43{,}92.

Passo 4

Conceito e fórmula para o caso com \sigma desconhecido (Cenário B).
  • Quando \sigma é desconhecido e é estimada pela amostra com s, a distribuição da estatística padronizada passa a ser aproximadamente a distribuição t de Student com \nu=n-1 graus de liberdade. O intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% é
\bar{x}\pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • t_{1-\frac{\alpha}{2},\,\nu} é o quantil da distribuição t com \nu graus de liberdade,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão estimado.
  • Intuição: quando \sigma é desconhecido há uma incerteza adicional por estar usando s em vez de \sigma. A distribuição t tem caudas mais pesadas que a normal para baixos \nu, o que gera um fator crítico maior e, portanto, intervalo mais largo.

Passo 5

Aplicando a fórmula no Cenário B com 95\% de confiança.
  • Aqui s=8, n=16 e \nu=n-1=15.
  • O quantil t_{0{,}975,\,15} (valor tabelado) é aproximadamente 2{,}131 (pode ver em tabela de t ou calculadora estatística).
  • Erro padrão estimado:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{16}}=\frac{8}{4}=2.
  • Margem de erro:
E_B = t_{0{,}975,\,15}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=2{,}131\cdot2=4{,}262.
  • Intervalo de confiança:
\bar{x}\pm E_B \;\Rightarrow\; 40\pm4{,}262.
  • Extremos do IC:
\text{limite inferior}_B = 40-4{,}262=35{,}738\approx35{,}74, \qquad \text{limite superior}_B = 40+4{,}262=44{,}262\approx44{,}26.

Passo 6

Cálculo das amplitudes (larguras) e comparação numérica.
  • Amplitude do Cenário A:
\text{largura}_A = 2\cdot E_A = 2\cdot3{,}92=7{,}84.
  • Amplitude do Cenário B:
\text{largura}_B = 2\cdot E_B = 2\cdot4{,}262=8{,}524\approx8{,}52.
  • Comparação: \text{largura}_B > \text{largura}_A. Ou seja, o intervalo do Cenário B é mais largo do que o do Cenário A.

Passo 7

Explicação qualitativa do porquê — visão pela ótica da incerteza (intuitiva e prática).
  • No Cenário A sabe-se o valor verdadeiro de \sigma; essa informação reduz a incerteza sobre onde a média populacional está, por isso o fator crítico é z_{0{,}975}=1{,}96.
  • No Cenário B \sigma não é conhecida e é estimada por s. Essa estimativa adiciona variabilidade extra: diferentes amostras dariam s diferentes. Para acomodar essa incerteza adicional, usa-se a distribuição t que tem caudas mais pesadas (valores críticos maiores para pequenos \nu), aumentando a margem de erro.
  • Consequência prática: quando a variância é desconhecida e a amostra é pequena, a confiança na estimativa da média é menor, então o intervalo é mais largo. À medida que n cresce, a distribuição t aproxima-se da normal e a diferença entre os intervalos diminui (isto é, t_{0{,}975,\,\nu}\to z_{0{,}975} quando \nu\to\infty).

Passo 8

Dicas rápidas para prova (prático e amigo):
  • Se \sigma é dado, use z. Se \sigma não é dado e n pequeno, use t com \nu=n-1.
  • Sempre calcule o erro padrão \dfrac{\text{desvio}}{\sqrt{n}} antes de multiplicar pelo quantil.
  • Memorize z_{0{,}975}=1{,}96 e alguns t típicos (por ex. t_{0{,}975,15}\approx2{,}13). Isso poupa tempo.
  • Respire fundo: é normal ficar meio perdido com t na primeira vez — com prática vira automático.

Resposta

Cenário A — IC 95\%: (36{,}08;\;43{,}92)
Cenário B — IC 95\%: (35{,}74;\;44{,}26)
Intervalo mais largo: Cenário B — porque a incerteza é maior ao estimar \sigma pela amostra (usa-se a distribuição t com caudas mais pesadas, o que aumenta a margem de erro).

Exercícios relacionados