Um engenheiro de produção analisa o tempo de secagem de uma nova resina. Ele coletou uma amostra de 16 corpos de prova e obteve uma média de 40 minutos. Considere dois cenários:
Cenário A: Sabe-se por testes anteriores que o desvio padrão populacional é 8 minutos.
Cenário B: O desvio padrão populacional é desconhecido, e o desvio padrão calculado da amostra foi 8 minutos.
(a) Calcule o IC de
para ambos os cenários.
(b) Compare as amplitudes (larguras) dos dois intervalos. Qual deles é mais largo? Explique o porquê disso ocorrer sob a ótica da incerteza.
Cenário B: O desvio padrão populacional é desconhecido, e o desvio padrão calculado da amostra foi 8 minutos.
(a) Calcule o IC de
(b) Compare as amplitudes (larguras) dos dois intervalos. Qual deles é mais largo? Explique o porquê disso ocorrer sob a ótica da incerteza.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede as coisas abaixo (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
minutos. - Dois cenários:
- Cenário A: desvio padrão populacional conhecido
minutos. - Cenário B: desvio padrão populacional desconhecido; desvio padrão amostral
minutos.
- Cenário A: desvio padrão populacional conhecido
- Perguntas:
(a) Calcular o intervalo de confiança depara a média em ambos os cenários.
(b) Comparar as amplitudes (larguras) dos dois intervalos. Indicar qual é mais largo e explicar por que isso ocorre, do ponto de vista da incerteza.
Passo 2
Conceito e fórmula para o caso com
conhecido (Cenário A).
- Quando a variância populacional é conhecida, o intervalo de confiança para a média com nível de confiança
é dado por
onde:
-
é a média amostral, -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área central é (por exemplo, para é ), -
é o desvio padrão populacional conhecido, -
é o tamanho da amostra, -
é o erro padrão da média (mostra quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional). - Interpretação rápida: o fator
captura a variabilidade natural da média (assumindo que sabemos ), e multiplicado pelo erro padrão dá a margem de erro.
Passo 3
Aplicando a fórmula no Cenário A com
de confiança.
- Para
temos e o quantil normal é (valor tabelado). - Calcular o erro padrão:
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança:
- Portanto os extremos do IC são:
Passo 4
Conceito e fórmula para o caso com
desconhecido (Cenário B).
- Quando
é desconhecido e é estimada pela amostra com , a distribuição da estatística padronizada passa a ser aproximadamente a distribuição de Student com graus de liberdade. O intervalo de confiança de é
onde:
-
é o quantil da distribuição com graus de liberdade, -
é o desvio padrão amostral, -
é o erro padrão estimado. - Intuição: quando
é desconhecido há uma incerteza adicional por estar usando em vez de . A distribuição tem caudas mais pesadas que a normal para baixos , o que gera um fator crítico maior e, portanto, intervalo mais largo.
Passo 5
Aplicando a fórmula no Cenário B com
de confiança.
- Aqui
, e . - O quantil
(valor tabelado) é aproximadamente (pode ver em tabela de ou calculadora estatística). - Erro padrão estimado:
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança:
- Extremos do IC:
Passo 6
Cálculo das amplitudes (larguras) e comparação numérica.
- Amplitude do Cenário A:
- Amplitude do Cenário B:
- Comparação:
. Ou seja, o intervalo do Cenário B é mais largo do que o do Cenário A.
Passo 7
Explicação qualitativa do porquê — visão pela ótica da incerteza (intuitiva e prática).
- No Cenário A sabe-se o valor verdadeiro de
; essa informação reduz a incerteza sobre onde a média populacional está, por isso o fator crítico é . - No Cenário B
não é conhecida e é estimada por . Essa estimativa adiciona variabilidade extra: diferentes amostras dariam diferentes. Para acomodar essa incerteza adicional, usa-se a distribuição que tem caudas mais pesadas (valores críticos maiores para pequenos ), aumentando a margem de erro. - Consequência prática: quando a variância é desconhecida e a amostra é pequena, a confiança na estimativa da média é menor, então o intervalo é mais largo. À medida que
cresce, a distribuição aproxima-se da normal e a diferença entre os intervalos diminui (isto é, quando ).
Passo 8
Dicas rápidas para prova (prático e amigo):
- Se
é dado, use . Se não é dado e pequeno, use com . - Sempre calcule o erro padrão
antes de multiplicar pelo quantil. - Memorize
e alguns típicos (por ex. ). Isso poupa tempo. - Respire fundo: é normal ficar meio perdido com
na primeira vez — com prática vira automático.
Resposta
Cenário A — IC
:
Cenário B — IC :
Intervalo mais largo: Cenário B — porque a incerteza é maior ao estimar pela amostra (usa-se a distribuição
com caudas mais pesadas, o que aumenta a margem de erro).
Cenário B — IC
Intervalo mais largo: Cenário B — porque a incerteza é maior ao estimar