5 Um estudo sobre o transporte de \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})} no tecido humano deu um prêmio Nobel de medicina a August Krough. Ele formulou o problema considerando um tecido cilíndrico com raios interno R_{1} e externo R_{2}, que envolvem uma artéria. \mathrm{O} \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})} presente no sangue difunde radialmente através deste tecido anular, sendo que a difusão é acompanhada por uma reação de ordem zero, do tipo R_{A}=-k_{1} (onde k_{1} é uma constante >0 ). Assumindo as seguintes condições de contorno:
Em r=R_{1}, p_{A}=p_{A 1} (onde p_{A 1} é a pressão parcial média de O_{2} na interface com a artéria);
Em r=R_{2}, d p_{A} / d r=0 (pelo fato de fluxos idênticos e opostos de O_{2(g)} serem fornecidos em tecidos vizinhos, o fluxo líquido de \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})} na superfície externa do tecido anular é nulo).
Em condições de regime estacionário, pede-se:
(a) Obtenha a equação que descreve o perfil de concentrações (em termos de pressão parcial do \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})}, \mathrm{P}_{\mathrm{A}} no tecido anular;
(b) Obtenha uma equação para o cálculo do fluxo de \mathrm{O}_{2} que penetra no tecido.
Passo 1
O enunciado descreve um tecido cilíndrico anular (um anel) que envolve uma artéria, com raio interno \,R_{1}\, e raio externo \,R_{2}\,. O oxigênio em fase gasosa difunde radialmente através do tecido e é consumido por uma reação de ordem zero com taxa volumétrica constante \,R_{A}=-k_{1}\, (onde \,k_{1}>0\,). As condições de contorno fornecidas são:
em \,r=R_{1}: \displaystyle p_A(R_{1})=p_{A1} (pressão parcial média do \mathrm{O}_2 na interface com a artéria);
em \,r=R_{2}: \displaystyle \left.\frac{d p_A}{d r}\right|_{r=R_{2}}=0 (fluxo radial líquido nulo na superfície externa).
O que se pede:
(a) Obter a equação que descreve o perfil de pressão parcial \,p_A(r)\, no anel em regime estacionário.
(b) Obter uma equação para o fluxo de \mathrm{O}_2 que penetra no tecido (fluxo na superfície interna, em r=R_1, e também a taxa total de consumo por unidade de comprimento do cilindro).
Todas as informações relevantes foram listadas acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos montar o balanço de massa em regime estacionário e só com variação radial (simetria angular e axial). Primeiro uma aula rápida e prática sobre as fórmulas que usaremos:
Fick (lei de difusão): o fluxo molar radial (por área) é dado por
J_r(r) = -D\,\frac{d c_A}{d r},
onde D é o coeficiente de difusão efetivo no tecido (unidade: \mathrm{m^2/s}) e c_A(r) é a concentração molar do \mathrm{O}_2 no tecido (unidade: \mathrm{mol/m^3}). O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de decrescimento da concentração.
Ligação entre concentração e pressão parcial (Lei de Henry linear, boa aproximação para gases dissolvidos): existe uma constante de solubilidade \alpha tal que
c_A(r)=\alpha\, p_A(r),
onde \alpha tem unidades \mathrm{mol/(m^3\cdot Pa)}. Isso nos permite escrever tudo em termos de \,p_A(r)\, (o enunciado pede em termos de pressão parcial).
Balanço em coordenadas cilíndricas (regime estacionário, termo fonte reação): para fluxo radial unidimensional,
onde R_A é a velocidade de consumo volumétrica (\mathrm{mol/(m^3\cdot s)}). Aqui R_A=-k_1 (atenção: o enunciado deu R_A=-k_1 — isto significa que a taxa de produção é negativa; para o balanço convém escrever a taxa de consumo como + termo adequado; veremos o sinal consistente abaixo).
Agora vamos substituir J_r e c_A em termos de p_A.
Aqui o termo -k_1 é a taxa volumétrica negativa (consumo); ao colocá-lo com sinal negativo na equação, o resultado será uma fonte negativa. Podemos reorganizar multiplicando por -1 para ficar mais claro:
Integre novamente para obter p_A(r). A primitiva de -\dfrac{K r}{2} é -\dfrac{K r^2}{4}. A primitiva de \dfrac{C_1}{r} é C_1\ln r. Introduzindo uma segunda constante de integração C_2, temos:
p_A(r) = -\frac{K r^2}{4} + C_1\ln r + C_2.
Agora vamos aplicar as condições de contorno para calcular C_1 e C_2.
Passo 6
Aplicar a condição de contorno em r=R_2: \left.\dfrac{d p_A}{dr}\right|_{r=R_2}=0. Usando a expressão da derivada:
0 = -\frac{K R_2}{2} + \frac{C_1}{R_2}.
Isto dá
C_1 = \frac{K R_2^2}{2}.
Passo 7
Agora aplicar a condição de contorno em r=R_1: p_A(R_1)=p_{A1}. Substitua r=R_1 na solução geral:
p_{A1} = -\frac{K R_1^2}{4} + C_1\ln R_1 + C_2.
Isolando C_2:
C_2 = p_{A1} + \frac{K R_1^2}{4} - C_1\ln R_1.
Substitua C_1=\dfrac{K R_2^2}{2} nessa expressão.
Passo 8
Escrever a solução final substituindo C_1 e C_2. Colocando tudo junto:
Lembre-se que K=\dfrac{k_1}{D\alpha}. Esta é a equação do perfil de pressão parcial no anel — resposta da parte (a). Interpretação rápida: o termo quadrático vem do consumo volumétrico constante e o termo logarítmico decorre da geometria cilíndrica.
Passo 9
Agora obtemos o fluxo que entra no tecido na superfície interna r=R_1. O fluxo molar radial (por área) é
J_r(r) = -D\alpha\,\frac{d p_A}{dr}.
Avalie em r=R_1. Primeiro calcule \left.\dfrac{d p_A}{dr}\right|_{r=R_1} usando a expressão da derivada obtida no Passo 4 e com C_1=\dfrac{K R_2^2}{2}:
Interpretação do sinal: este J_r(R_1) é negativo porque definimos o fluxo radial pelo sinal de Fick (positivo na direção de aumento de r). O fluxo de entrada no tecido vindo da artéria (magnitute, sentido para dentro) é então
\text{fluxo de entrada (magnitude)} \;=\; \frac{k_1}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1}.
Se quiser a taxa total de oxigênio consumida por unidade de comprimento axial do cilindro (mol/s por m de comprimento), multiplica-se o fluxo por área total de entrada 2\pi R_1: