5 Um estudo sobre o transporte de \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})} no tecido humano deu um prêmio Nobel de medicina a August Krough. Ele formulou o problema considerando um tecido cilíndrico com raios interno R_{1} e externo R_{2}, que envolvem uma artéria. \mathrm{O} \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})} presente no sangue difunde radialmente através deste tecido anular, sendo que a difusão é acompanhada por uma reação de ordem zero, do tipo R_{A}=-k_{1} (onde k_{1} é uma constante >0 ). Assumindo as seguintes condições de contorno:
Em r=R_{1}, p_{A}=p_{A 1} (onde p_{A 1} é a pressão parcial média de O_{2} na interface com a artéria);
Em r=R_{2}, d p_{A} / d r=0 (pelo fato de fluxos idênticos e opostos de O_{2(g)} serem fornecidos em tecidos vizinhos, o fluxo líquido de \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})} na superfície externa do tecido anular é nulo).
Em condições de regime estacionário, pede-se:
(a) Obtenha a equação que descreve o perfil de concentrações (em termos de pressão parcial do \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})}, \mathrm{P}_{\mathrm{A}} no tecido anular;
(b) Obtenha uma equação para o cálculo do fluxo de \mathrm{O}_{2} que penetra no tecido.

Passo 1

O enunciado descreve um tecido cilíndrico anular (um anel) que envolve uma artéria, com raio interno \,R_{1}\, e raio externo \,R_{2}\,. O oxigênio em fase gasosa difunde radialmente através do tecido e é consumido por uma reação de ordem zero com taxa volumétrica constante \,R_{A}=-k_{1}\, (onde \,k_{1}>0\,). As condições de contorno fornecidas são:
  • em \,r=R_{1}: \displaystyle p_A(R_{1})=p_{A1} (pressão parcial média do \mathrm{O}_2 na interface com a artéria);
  • em \,r=R_{2}: \displaystyle \left.\frac{d p_A}{d r}\right|_{r=R_{2}}=0 (fluxo radial líquido nulo na superfície externa).
O que se pede:
(a) Obter a equação que descreve o perfil de pressão parcial \,p_A(r)\, no anel em regime estacionário.
(b) Obter uma equação para o fluxo de \mathrm{O}_2 que penetra no tecido (fluxo na superfície interna, em r=R_1, e também a taxa total de consumo por unidade de comprimento do cilindro).
Todas as informações relevantes foram listadas acima; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos montar o balanço de massa em regime estacionário e só com variação radial (simetria angular e axial). Primeiro uma aula rápida e prática sobre as fórmulas que usaremos:
  • Fick (lei de difusão): o fluxo molar radial (por área) é dado por
J_r(r) = -D\,\frac{d c_A}{d r},
onde D é o coeficiente de difusão efetivo no tecido (unidade: \mathrm{m^2/s}) e c_A(r) é a concentração molar do \mathrm{O}_2 no tecido (unidade: \mathrm{mol/m^3}). O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de decrescimento da concentração.
  • Ligação entre concentração e pressão parcial (Lei de Henry linear, boa aproximação para gases dissolvidos): existe uma constante de solubilidade \alpha tal que
c_A(r)=\alpha\, p_A(r),
onde \alpha tem unidades \mathrm{mol/(m^3\cdot Pa)}. Isso nos permite escrever tudo em termos de \,p_A(r)\, (o enunciado pede em termos de pressão parcial).
  • Balanço em coordenadas cilíndricas (regime estacionário, termo fonte reação): para fluxo radial unidimensional,
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,J_r(r)\bigr) + R_A = 0,
onde R_A é a velocidade de consumo volumétrica ( \mathrm{mol/(m^3\cdot s)}). Aqui R_A=-k_1 (atenção: o enunciado deu R_A=-k_1 — isto significa que a taxa de produção é negativa; para o balanço convém escrever a taxa de consumo como + termo adequado; veremos o sinal consistente abaixo).
Agora vamos substituir J_r e c_A em termos de p_A.

Passo 3

Substituindo c_A=\alpha p_A em Fick:
J_r(r) = -D\,\frac{d c_A}{d r} = -D\,\frac{d(\alpha p_A)}{dr} = -D\alpha\,\frac{d p_A}{dr}.
No balanço usemos R_A=-k_1. Inserindo em
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r J_r(r)\bigr) + R_A = 0
obtemos
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\bigl(-D\alpha\,\frac{d p_A}{dr}\bigr)\Bigr) - k_1 = 0.
Aqui o termo -k_1 é a taxa volumétrica negativa (consumo); ao colocá-lo com sinal negativo na equação, o resultado será uma fonte negativa. Podemos reorganizar multiplicando por -1 para ficar mais claro:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{d p_A}{dr}\Bigr) = -\frac{k_1}{D\alpha}.
Para simplificar a notação, defina a constante positiva
K \equiv \frac{k_1}{D\alpha}.
Então a equação a resolver é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{d p_A}{dr}\Bigr) = -K.
Essa é uma equação diferencial ordinária em r (equação de Poisson em coordenadas cilíndricas com fonte constante).

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial passo a passo. Comece multiplicando ambos os lados por r:
\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{d p_A}{dr}\Bigr) = -K\,r.
Integre uma vez em r. Ao integrar -K r obtemos -\dfrac{K r^2}{2} mais uma constante de integração C_1:
r\frac{d p_A}{dr} = -\frac{K r^2}{2} + C_1.
Divida por r (válido para r>0) para obter a derivada:
\frac{d p_A}{dr} = -\frac{K r}{2} + \frac{C_1}{r}.

Passo 5

Integre novamente para obter p_A(r). A primitiva de -\dfrac{K r}{2} é -\dfrac{K r^2}{4}. A primitiva de \dfrac{C_1}{r} é C_1\ln r. Introduzindo uma segunda constante de integração C_2, temos:
p_A(r) = -\frac{K r^2}{4} + C_1\ln r + C_2.
Agora vamos aplicar as condições de contorno para calcular C_1 e C_2.

Passo 6

Aplicar a condição de contorno em r=R_2: \left.\dfrac{d p_A}{dr}\right|_{r=R_2}=0. Usando a expressão da derivada:
0 = -\frac{K R_2}{2} + \frac{C_1}{R_2}.
Isto dá
C_1 = \frac{K R_2^2}{2}.

Passo 7

Agora aplicar a condição de contorno em r=R_1: p_A(R_1)=p_{A1}. Substitua r=R_1 na solução geral:
p_{A1} = -\frac{K R_1^2}{4} + C_1\ln R_1 + C_2.
Isolando C_2:
C_2 = p_{A1} + \frac{K R_1^2}{4} - C_1\ln R_1.
Substitua C_1=\dfrac{K R_2^2}{2} nessa expressão.

Passo 8

Escrever a solução final substituindo C_1 e C_2. Colocando tudo junto:
p_A(r) = -\frac{K r^2}{4} + \frac{K R_2^2}{2}\ln r + p_{A1} + \frac{K R_1^2}{4} - \frac{K R_2^2}{2}\ln R_1.
Agrupando termos de forma compacta (fatorando K quando conveniente):
p_A(r) = p_{A1} + \frac{K}{4}\bigl(R_1^2 - r^2\bigr) + \frac{K R_2^2}{2}\ln\!\left(\frac{r}{R_1}\right).
Lembre-se que K=\dfrac{k_1}{D\alpha}. Esta é a equação do perfil de pressão parcial no anel — resposta da parte (a). Interpretação rápida: o termo quadrático vem do consumo volumétrico constante e o termo logarítmico decorre da geometria cilíndrica.

Passo 9

Agora obtemos o fluxo que entra no tecido na superfície interna r=R_1. O fluxo molar radial (por área) é
J_r(r) = -D\alpha\,\frac{d p_A}{dr}.
Avalie em r=R_1. Primeiro calcule \left.\dfrac{d p_A}{dr}\right|_{r=R_1} usando a expressão da derivada obtida no Passo 4 e com C_1=\dfrac{K R_2^2}{2}:
\left.\frac{d p_A}{dr}\right|_{r=R_1} = -\frac{K R_1}{2} + \frac{C_1}{R_1} = -\frac{K R_1}{2} + \frac{K R_2^2}{2R_1} = \frac{K}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1}.
Então o fluxo por unidade de área na superfície interna é
J_{r}(R_1) = -D\alpha\left.\frac{d p_A}{dr}\right|_{r=R_1} = -D\alpha\cdot\frac{K}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1}.
Mas como K=\dfrac{k_1}{D\alpha}, observamos que D\alpha\cdot K = k_1. Substituindo:
J_{r}(R_1) = -\frac{k_1}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1}.
Interpretação do sinal: este J_r(R_1) é negativo porque definimos o fluxo radial pelo sinal de Fick (positivo na direção de aumento de r). O fluxo de entrada no tecido vindo da artéria (magnitute, sentido para dentro) é então
\text{fluxo de entrada (magnitude)} \;=\; \frac{k_1}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1}.
Se quiser a taxa total de oxigênio consumida por unidade de comprimento axial do cilindro (mol/s por m de comprimento), multiplica-se o fluxo por área total de entrada 2\pi R_1:
\dot{n}' \;=\; J_r(R_1)\cdot (2\pi R_1) \;=\; -\frac{k_1}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1}\cdot 2\pi R_1 = -\pi k_1\bigl(R_2^2-R_1^2\bigr).
O valor negativo indica consumo (saída do fluido arterial). Em magnitude:
\text{taxa total de consumo por unidade de comprimento} \;=\; \pi k_1\bigl(R_2^2-R_1^2\bigr),
o que é consistente com integrar a taxa volumétrica k_1 sobre a área da seção transversal do anel.

Resposta

(a) p_A(r)=p_{A1}+\frac{K}{4}\bigl(R_1^2-r^2\bigr)+\frac{K R_2^2}{2}\ln\!\left(\frac{r}{R_1}\right), \quad\text{com}\quad K=\frac{k_1}{D\alpha}.
(b) Fluxo molar por unidade de área na face interna ( r=R_1):
J_r(R_1)=-\frac{k_1}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1},
ou em magnitude (fluxo para dentro do tecido)
\left|J_r(R_1)\right|=\frac{k_1}{2}\,\frac{R_2^2-R_1^2}{R_1}.
Taxa total de consumo por unidade de comprimento axial (mol/s por m):
\dot{n}'=\pi k_1\bigl(R_2^2-R_1^2\bigr).

Exercícios relacionados