2- Um composto \mathrm{A}_{(\mathrm{g})} difunde através de um filme de ar estagnado de espessura L até atingir a superfície de um catalisador, onde é consumido instantaneamente em uma reação de 1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem. Na reação é produzido o gás \mathrm{B}_{(\mathrm{g})}, que difunde na direção oposta. A reação ocorre segundo a estequiometria \mathrm{A}_{(g)} \rightarrow 3 \mathrm{~B}_{(g)}.
Para um processo conduzido a 1,3 \mathrm{~atm} e 500 K são conhecidas a difusividade \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=1,3 \times 10^{-4} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} e a pressão parcial de A na mistura gasosa de alimentação, igual a 0,6 \mathrm{~atm}. A espessura do filme de difusão é igual a 1 mm . Deseja-se estimar:
(a) o fluxo molar com que o gás é consumido;
(b) a partir de um gráfico da concentração em função da distância da interface, identifique a posição a partir da interface em que a fração molar de A se reduz a 50% do valor de alimentação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o fluxo molar com que o gás A é consumido no catalisador; (b) a partir de um gráfico de concentração versus distância da interface, a posição (distância a partir da interface) onde a fração molar de A cai a 50% do valor de alimentação.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente e em unidades úteis):
P_{\text{total}}=1{,}3\\ \text{atm},\quad T=500\\ \text{K},
D_{AB}=1{,}3\times10^{-4}\\ \text{cm}^2\!/\text{s},
p_{A,\infty}=0{,}6\\ \text{atm}\\ \\ (\text{pressão parcial de A na alimentação}),ãçã
L=1\\ \text{mm}=0{,}1\\ \text{cm}.
A estequiometria é \mathrm{A}\rightarrow 3\mathrm{B}. O enunciado diz que A é “consumido instantaneamente” na superfície em reação de 1ª ordem — vou interpretar isso, como é comum nesses problemas, como reação suficientemente rápida na superfície para que a concentração de A na superfície seja praticamente nula: \;C_A(x=0)=0. Vou medir x a partir da superfície catalítica no sentido do gás, de modo que x=0 é a superfície e x=L é o volume de alimentação (bulk).\n
Importante: usarei a lei dos gases ideais para relacionar pressão parcial e concentração:
C=\dfrac{p}{RT},
onde R em unidades compatíveis será R=82{,}057\\ \text{cm}^3\\ \text{atm}\\ \text{mol}^{-1}\\ \text{K}^{-1} (ou 0{,}082057\\ \text{L atm mol}^{-1}\\ \text{K}^{-1}).\n

Passo 2

Transformar a pressão parcial de A na concentração molar no bulk (alimentação). Aplicando a lei dos gases ideais:
C_{A,\infty}=\dfrac{p_{A,\infty}}{R\,T}.
Substituindo números:
C_{A,\infty}=\dfrac{0{,}6\\ \text{atm}}{82{,}057\\ \text{cm}^3\!\cdot\!\text{atm}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}\times 500\\ \text{K}}.
Calculemos passo a passo: 82{,}057\times 500=41\,028{,}5. Então
C_{A,\infty}=\dfrac{0{,}6}{41\,028{,}5}\\ \text{mol/cm}^3 \approx 1{,}462\times 10^{-5}\\ \text{mol/cm}^3.
(Guarde este valor: é a concentração de A no lado do filme voltado para o bulk.)

Passo 3

Explicação física e equação de base (aula rápida): em regime estacionário e unidimensional sem convecção na película estagnada, o fluxo molar por difusão de A satisfaz a Lei de Fick:
N_A(x)=-D_{AB}\,\dfrac{dC_A}{dx}.
Aqui N_A tem unidades de \text{mol}/(\text{cm}^2\cdot\text{s}), D_{AB} é a difusividade em \text{cm}^2/\text{s}, e C_A(x) é a concentração local de A em \text{mol}/\text{cm}^3. Se não há reação no interior do filme (apenas na superfície) e o sistema está em estado estacionário, o fluxo é constante com x e o perfil de concentração é linear entre x=0 (superfície) e x=L (bulk). Com a condição de contorno que adotamos ( C_A(0)=0 e C_A(L)=C_{A,\infty}), o perfil linear é:
C_A(x)=C_{A,\infty}\,\dfrac{x}{L}.
Diferenciando:
\dfrac{dC_A}{dx}=\dfrac{C_{A,\infty}}{L}.
Substituindo em Fick e tomando o valor positivo do fluxo dirigido do bulk para a superfície:
N_A=-D_{AB}\left(\dfrac{dC_A}{dx}\right) = -D_{AB}\left(\dfrac{C_{A,\infty}}{L}\right).
O sinal negativo mostra que a derivada é positiva (porque C cresce com x), mas o fluxo efetivo de A para a superfície tem sentido contrário ao aumento de x. Em termos de magnitude (taxa de consumo, sempre positiva):
\boxed{N_A=\dfrac{D_{AB}\,C_{A,\infty}}{L}.}

Passo 4

Cálculo numérico do fluxo com os valores dados: substituindo
D_{AB}=1{,}3\times10^{-4}\\ \text{cm}^2\!/\text{s},\quad C_{A,\infty}=1{,}462\times10^{-5}\\ \text{mol/cm}^3,\quad L=0{,}1\\ \text{cm},
temos
N_A=\dfrac{1{,}3\times10^{-4}\times 1{,}462\times10^{-5}}{0{,}1}\\ \text{mol}/(\text{cm}^2\cdot\text{s}).
Multiplicando: 1{,}3\times10^{-4}\times 1{,}462\times10^{-5}=1{,}9006\times10^{-9}. Dividindo por 0{,}1
N_A\approx 1{,}9006\times10^{-8}\\ \text{mol}/(\text{cm}^2\cdot\text{s}).
Convertendo para unidades por metro quadrado (mais comum): 1\\ \text{cm}^2=10^{-4}\\ \text{m}^2, logo multiplicamos por 10^{4}:
N_A\approx 1{,}9006\times10^{-4}\\ \text{mol}/(\text{m}^2\cdot\text{s}).
Interpretação rápida: esse é o fluxo molar com que A é consumido pelo catalisador (por unidade de área da superfície).

Passo 5

Agora a parte (b): localizar a posição em que a fração molar de A é 50% do valor de alimentação.\n
Do perfil linear já obtido:
C_A(x)=C_{A,\infty}\dfrac{x}{L}.
Queremos C_A(x)=0{,}5\,C_{A,\infty}. Igualando:
0{,}5\,C_{A,\infty}=C_{A,\infty}\dfrac{x}{L}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{L}=0{,}5.
Logo
x=0{,}5\,L.
Com L=1\\ \text{mm} isso dá
x=0{,}5\\ \text{mm}=0{,}05\\ \text{cm}.
Comentário didático sobre fração molar: a fração molar de A, y_A, é proporcional a C_A se a concentração total do gás na região for aproximadamente constante. Nesse modelo simples de película estacionária (e para identificar graficamente a posição onde y_A cai para 50% do valor na alimentação) basta localizar onde C_A atinge 50% de C_{A,\infty}; portanto a posição é a mesma x=0{,}5L. Observação: a estequiometria \mathrm{A}\to 3\mathrm{B} implica geração de mais mols de gás em superfície, o que em um tratamento mais detalhado pode modificar total de pressão e o perfil de y_A; aqui o enunciado e o pedido de “a partir de um gráfico de concentração” sugerem a aproximação linear usada acima, que é a tratada em provas e exercícios do nível deste curso.

Passo 6

Resumo numérico e verificação rápida (pequena checagem das ordens de grandeza): o fluxo por cm^2 é da ordem 10^{-8}\\ \text{mol}/\text{cm}^2\!\cdot\!\text{s}, o que corresponde a \sim 10^{-4}\\ \text{mol}/\text{m}^2\!\cdot\!\text{s}. A posição para 50% do valor de alimentação é metade da espessura do filme, ou seja, 0{,}5\\ \text{mm}. Essas são respostas diretas aos itens (a) e (b).

Resposta

(a) N_A \approx 1{,}90\times10^{-8}\\ \text{mol}/(\text{cm}^2\cdot\text{s}) \approx 1{,}90\times10^{-4}\\ \text{mol}/(\text{m}^2\cdot\text{s})\n
(b) x=0{,}5\,L=0{,}5\\ \text{mm}

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