2- Um composto
difunde através de um filme de ar estagnado de espessura
até atingir a superfície de um catalisador, onde é consumido instantaneamente em uma reação de
ordem. Na reação é produzido o gás
, que difunde na direção oposta. A reação ocorre segundo a estequiometria
.
Para um processo conduzido a
e 500 K são conhecidas a difusividade
e a pressão parcial de A na mistura gasosa de alimentação, igual a
. A espessura do filme de difusão é igual a 1 mm . Deseja-se estimar:
(a) o fluxo molar com que o gás é consumido;
(b) a partir de um gráfico da concentração em função da distância da interface, identifique a posição a partir da interface em que a fração molar de A se reduz a 50% do valor de alimentação.
(a) o fluxo molar com que o gás é consumido;
(b) a partir de um gráfico da concentração em função da distância da interface, identifique a posição a partir da interface em que a fração molar de A se reduz a 50% do valor de alimentação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o fluxo molar com que o gás A é consumido no catalisador; (b) a partir de um gráfico de concentração versus distância da interface, a posição (distância a partir da interface) onde a fração molar de A cai a 50% do valor de alimentação.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente e em unidades úteis):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente e em unidades úteis):
A estequiometria é
. O enunciado diz que A é “consumido instantaneamente” na superfície em reação de 1ª ordem — vou interpretar isso, como é comum nesses problemas, como reação suficientemente rápida na superfície para que a concentração de A na superfície seja praticamente nula:
. Vou medir
a partir da superfície catalítica no sentido do gás, de modo que
é a superfície e
é o volume de alimentação (bulk).\n
Importante: usarei a lei dos gases ideais para relacionar pressão parcial e concentração:
Importante: usarei a lei dos gases ideais para relacionar pressão parcial e concentração:
onde
em unidades compatíveis será
(ou
).\n
Passo 2
Transformar a pressão parcial de A na concentração molar no bulk (alimentação). Aplicando a lei dos gases ideais:
Substituindo números:
Calculemos passo a passo:
. Então
(Guarde este valor: é a concentração de A no lado do filme voltado para o bulk.)
Passo 3
Explicação física e equação de base (aula rápida): em regime estacionário e unidimensional sem convecção na película estagnada, o fluxo molar por difusão de A satisfaz a Lei de Fick:
Aqui
tem unidades de
,
é a difusividade em
, e
é a concentração local de A em
. Se não há reação no interior do filme (apenas na superfície) e o sistema está em estado estacionário, o fluxo é constante com
e o perfil de concentração é linear entre
(superfície) e
(bulk). Com a condição de contorno que adotamos (
e
), o perfil linear é:
Diferenciando:
Substituindo em Fick e tomando o valor positivo do fluxo dirigido do bulk para a superfície:
O sinal negativo mostra que a derivada é positiva (porque
cresce com
), mas o fluxo efetivo de A para a superfície tem sentido contrário ao aumento de
. Em termos de magnitude (taxa de consumo, sempre positiva):
Passo 4
Cálculo numérico do fluxo com os valores dados: substituindo
temos
Multiplicando:
. Dividindo por
dá
Convertendo para unidades por metro quadrado (mais comum):
, logo multiplicamos por
:
Interpretação rápida: esse é o fluxo molar com que A é consumido pelo catalisador (por unidade de área da superfície).
Passo 5
Agora a parte (b): localizar a posição em que a fração molar de A é 50% do valor de alimentação.\n
Do perfil linear já obtido:
Do perfil linear já obtido:
Queremos
. Igualando:
Logo
Com
isso dá
Comentário didático sobre fração molar: a fração molar de A,
, é proporcional a
se a concentração total do gás na região for aproximadamente constante. Nesse modelo simples de película estacionária (e para identificar graficamente a posição onde
cai para 50% do valor na alimentação) basta localizar onde
atinge 50% de
; portanto a posição é a mesma
. Observação: a estequiometria
implica geração de mais mols de gás em superfície, o que em um tratamento mais detalhado pode modificar total de pressão e o perfil de
; aqui o enunciado e o pedido de “a partir de um gráfico de concentração” sugerem a aproximação linear usada acima, que é a tratada em provas e exercícios do nível deste curso.
Passo 6
Resumo numérico e verificação rápida (pequena checagem das ordens de grandeza): o fluxo por cm^2 é da ordem
, o que corresponde a
. A posição para 50% do valor de alimentação é metade da espessura do filme, ou seja,
. Essas são respostas diretas aos itens (a) e (b).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)