4- Um reator catalítico é usado para converter
em
no escapamento de automóveis. O reator é composto por um leito fixo recheado com pellets esféricos de alumina recobertos com
difunde até o interior do pellet, onde reage formando o
. A reação de consumo é expressa por
, onde
é a área superficial do catalisador por unidade de volume do pellet. Os pellets têm diâmetro
mm e
. O gás de exaustão está a
e
e a fração molar de A na superfície do catalisador é mantida constante e igual a
. A difusividade efetiva do
no interior do pellet é
e
. Pede-se:
(a) obtenha a equação para a distribuição radial de concentração da espécie A (
) no interior do pellet (em regime estacionário) em função de parâmetros conhecidos como
. ;
(b) estime a taxa com que o
é consumido.
(a) obtenha a equação para a distribuição radial de concentração da espécie A (
(b) estime a taxa com que o
Passo 1
O enunciado dá um pellet esférico (diâmetro
) cujo interior apresenta difusão efetiva e reação de primeira ordem em volume, com taxa volumétrica
Dados numéricos importantes (extraídos do enunciado):
O que se pede:
(a) obter a equação para a distribuição radial de concentração de A, em regime estacionário, no interior do pellet, em função dos parâmetros dados;
(b) estimar a taxa com que o é consumido (vou estimar a taxa por pellet, usando os dados fornecidos).]
(a) obter a equação para a distribuição radial de concentração de A, em regime estacionário, no interior do pellet, em função dos parâmetros dados;
(b) estimar a taxa com que o
Passo 2
Formulando o balanço de massa estacionário dentro de uma esfera com difusão efetiva e reação volumétrica de primeira ordem. Em coordenadas esféricas (só depende de
) a equação de difusão + reação em estado estacionário é
onde
é a concentração molar de A no interior do pellet (
). Vou simplificar definindo a constante volumétrica de reação
Então a equação fica
Explicando: à esquerda temos o termo de difusão radial em esfera; à direita, a perda por reação de primeira ordem (proporcional a
). É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.
Passo 3
Resolver a ODE de forma prática. Escrevemos
com
Para resolver usamos a substituição
. Calculamos
e substituindo na ODE obtemos (substituições diretas mostram)
Esta é uma ODE linear de coeficientes constantes; a solução geral é
Voltando a
:
Passo 4
Impor condições de contorno físicas. Temos simetria no centro e concentração finita em
. Para
a expressão acima não pode divergir; note que
e
. Como
deve tender a
quando
, isso implica
. Assim
A constante
é obtida pela condição de superfície
(a fração molar na superfície é dada), então
Definindo o módulo de Thiele
, obtemos a expressão clássica
Essa é a distribuição radial de concentração (resposta do item (a)). Observação prática: no centro usa-se o limite
(usar expansão de
) para obter
— finito.
Passo 5
Calcular a concentração de superfície
a partir de
usando a lei dos gases ideais:
Usando
,
,
e
,
Passo 6
Calcular os parâmetros
e
. Primeiro
Então
e
Comentário intuitivo:
indica forte limitação por difusão interna (a concentração cai muito rápido do contorno para o núcleo).
Passo 7
Para estimar a taxa de consumo (item (b)) é conveniente usar o fator de efetividade
, que relaciona a taxa real no pellet com a taxa que ocorreria se toda a fase sólida estivesse na concentração de superfície
:
onde
é o volume do pellet
. Vamos calcular
explicitamente a partir da solução
.
Calcule a taxa real:
Substituindo a forma de
e fazendo a mudança de variável
(logo
vai de
a
) obtém-se, após simplificação e avaliação da integral (passos de integração mostrados resumidamente abaixo), a expressão padrão:
Explicação curta da integral (passos principais): com
e
chega-se a um integral
que vale
. Reorganizando os fatores resulta na expressão acima para
. Esta é a forma conhecida do fator de efetividade para esfera com reação de primeira ordem.
Passo 8
Avaliar numericamente
e a taxa real por pellet. Com
podemos usar a aproximação numérica
(já que
é muito grande), então
Numericamente:
Volume do pellet:
Taxa real de consumo por pellet:
Resposta
(a)
, com
e
(b)
(b)