Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
| Rendimento
(xᵢ) 2600 1400 2150 2750 950 3650 3200 2450 2600 1550 1850 1700
Tempo
(yᵢ) 6 5 4 6 5 5 5 5 4 6 5 6
Determine a reta de regressão linear que melhor se ajusta aos pontos:
y=(\square)

Passo 1

O enunciado fornece os pares (x_i,y_i) onde x_i é o Rendimento (em euros) e y_i é o Tempo (em horas/semana) para n=12 indivíduos. Os dados são (peguei-os do enunciado):
\begin{array}{l} x: 2600,\;1400,\;2150,\;2750,\;950,\;3650,\;3200,\;2450,\;2600,\;1550,\;1850,\;1700,\\[3pt] y: 6,\;5,\;4,\;6,\;5,\;5,\;5,\;5,\;4,\;6,\;5,\;6. \end{array}
O que pedem: determinar a reta de regressão linear (pelo método dos mínimos quadrados) que melhor ajusta y em função de x; isto é, encontrar os coeficientes a (interceção) e b (declive) da reta
y = a + b x.]

Passo 2

Breve explicação do método (passo-a-passo como na prova):
  • A reta de mínimos quadrados que prediz y a partir de x tem fórmulas
b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar{y}-b\bar{x},
onde
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i,
S_{xy}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum_{i=1}^n x_i y_i - n\bar{x}\bar{y},
S_{xx}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2.
O que essas quantidades significam, em palavras simples:
  • \bar{x} e \bar{y} são as médias dos dados;
  • S_{xy} mede a covariação entre x e y (se é positiva, y tende a aumentar com x; se negativa, tende a diminuir);
  • S_{xx} mede a variabilidade de x;
  • o declive b é a razão entre covariação e variabilidade de x: quanto y muda em média quando x muda uma unidade.

Passo 3

Calcular somas necessárias (faça isso devagar na prova; eu descrevo os valores já somados):
\sum_{i=1}^{12} x_i = 26\,850, \qquad \sum_{i=1}^{12} y_i = 62,
\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 138\,100, \qquad \sum_{i=1}^{12} x_i^2 = 66\,847\,500.
(Estas somas foram obtidas multiplicando cada par x_i y_i e cada x_i^2 e somando — na prova faça uma coluna e some.)

Passo 4

Calcular as médias:
\bar{x}=\frac{26850}{12}=2237{,}5, \qquad \bar{y}=\frac{62}{12}=\frac{31}{6}\approx5{,}166666\ldots

Passo 5

Calcular S_{xy} e S_{xx} usando as fórmulas:
S_{xy}=\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}=138\,100 - 12\cdot 2237{,}5\cdot\frac{31}{6}.
Note que 12\cdot\frac{31}{6}=62, então
S_{xy}=138\,100 - 62\cdot 2237{,}5 = 138\,100 - 138\,725 = -625.
Agora S_{xx}:
S_{xx}=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 66\,847\,500 - 12\cdot(2237{,}5)^2.
Calculamos (2237{,}5)^2=5\,006\,406{,}25 e 12\cdot(2237{,}5)^2=60\,076\,875. Logo
S_{xx}=66\,847\,500 - 60\,076\,875 = 6\,770\,625.

Passo 6

Calcular o declive b:
b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-625}{6\,770\,625}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 625:
b=-\frac{1}{10\,833}\approx -0{,}000092327\ldots
Na prática de prova dá para deixar como fração exata -\dfrac{1}{10\,833} ou arredondar o decimal.

Passo 7

Calcular a interceção a:
a=\bar{y}-b\bar{x}=\frac{31}{6}-\left(-\frac{1}{10\,833}\right)\cdot 2237{,}5.
Calculando o termo b\bar{x}=-\dfrac{4475}{21\,666}\approx -0{,}2065448, obtemos
a\approx 5{,}1666667 - (-0{,}2065448)=5{,}3732115\ldots
Arredondando de forma sensata (duas a quatro casas decimais) fica a\approx 5{,}3732.

Passo 8

Interpretação rápida (útil na prova): o declive é negativo, muito pequeno em módulo, o que indica que, neste conjunto de dados, rendimentos maiores estão ligeiramente associados a tempos menores nas atividades extracurriculares — porém a relação é fraca (coeficiente próximo de zero). Mas o que importa para o enunciado é a equação da reta.

Resposta

y = 5{,}3732 - 0{,}00009233\,x

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