Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
| Rendimento
| (xᵢ) | 2600 | 1400 | 2150 | 2750 | 950 | 3650 | 3200 | 2450 | 2600 | 1550 | 1850 | 1700 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tempo | ||||||||||||
| (yᵢ) | 6 | 5 | 4 | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 | 4 | 6 | 5 | 6 |
Determine a reta de regressão linear que melhor se ajusta aos pontos:
Passo 1
O enunciado fornece os pares
onde
é o Rendimento (em euros) e
é o Tempo (em horas/semana) para
indivíduos. Os dados são (peguei-os do enunciado):
O que pedem: determinar a reta de regressão linear (pelo método dos mínimos quadrados) que melhor ajusta
em função de
; isto é, encontrar os coeficientes
(interceção) e
(declive) da reta
Passo 2
Breve explicação do método (passo-a-passo como na prova):
- A reta de mínimos quadrados que prediz
a partir de tem fórmulas
onde
O que essas quantidades significam, em palavras simples:
-
e são as médias dos dados; -
mede a covariação entre e (se é positiva, tende a aumentar com ; se negativa, tende a diminuir); -
mede a variabilidade de ; - o declive
é a razão entre covariação e variabilidade de : quanto muda em média quando muda uma unidade.
Passo 3
Calcular somas necessárias (faça isso devagar na prova; eu descrevo os valores já somados):
(Estas somas foram obtidas multiplicando cada par
e cada
e somando — na prova faça uma coluna e some.)
Passo 4
Calcular as médias:
Passo 5
Calcular
e
usando as fórmulas:
Note que
, então
Agora
:
Calculamos
e
. Logo
Passo 6
Calcular o declive
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Na prática de prova dá para deixar como fração exata
ou arredondar o decimal.
Passo 7
Calcular a interceção
:
Calculando o termo
, obtemos
Arredondando de forma sensata (duas a quatro casas decimais) fica
.
Passo 8
Interpretação rápida (útil na prova): o declive é negativo, muito pequeno em módulo, o que indica que, neste conjunto de dados, rendimentos maiores estão ligeiramente associados a tempos menores nas atividades extracurriculares — porém a relação é fraca (coeficiente próximo de zero). Mas o que importa para o enunciado é a equação da reta.