Determine whether each system
given below is memoryless.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema dado pela regra
é memoryless (ou seja, sem memória). As informações que temos são apenas a definição do sistema: para cada instante discreto
, a saída é a soma das amostras de entrada a partir de
até o infinito.
Passo 2
Vamos lembrar bem direitinho o que significa “memoryless” (sem memória) para sistemas discretos — explicação passo a passo e sem enrolar:
- Um sistema é memoryless se, para todo instante
, a saída depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante, isto é, apenas de . - Em símbolos: um sistema é memoryless se sempre existir uma função
tal que
para todo
. Isso implica que, se dois sinais de entrada
e
concordam em
(mas podem diferir em outros instantes), então necessariamente
.
Passo 3
Agora olhamos para o sistema dado:
Observe a soma: os termos são
. Ou seja, a expressão envolve
para índices
, não apenas para
. Isso já sugere que a saída em
pode depender de valores de entrada em instantes diferentes de
.
Passo 4
Para ser completamente convincente, fazemos um contraexemplo concreto (jeito canônico de provar que algo não é verdade):
- Defina dois sinais de entrada
- Note que
), mas
e . - Calcule as saídas no mesmo instante
:
- As saídas em
são diferentes mesmo que as entradas em fossem iguais. Pela definição de sistema memoryless (ver Passo 2), isso mostra que a saída em não é determinada apenas por : depende também de (e possivelmente de outros , ).]
Passo 5
Resumo do raciocínio aprendido aqui (dicas para a prova): para testar memorylessness sempre verifique se a expressão de
envolve valores
com
. Se envolver qualquer
diferente de
, o sistema tem memória. Uma prova direta por contraexemplo como a do Passo 4 é a forma mais simples e segura na prova.
Resposta
Não. O sistema não é memoryless (não é sem memória):
depende de
para
.