Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x(k)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema dado pela regra
\mathcal{H}x(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x(k)
é memoryless (ou seja, sem memória). As informações que temos são apenas a definição do sistema: para cada instante discreto n, a saída é a soma das amostras de entrada a partir de k=n até o infinito.

Passo 2

Vamos lembrar bem direitinho o que significa “memoryless” (sem memória) para sistemas discretos — explicação passo a passo e sem enrolar:
  • Um sistema é memoryless se, para todo instante n, a saída y(n) depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante, isto é, apenas de x(n).
  • Em símbolos: um sistema é memoryless se sempre existir uma função f tal que
y(n)=\mathcal{H}x(n)=f\big(x(n)\big)
para todo n. Isso implica que, se dois sinais de entrada x^{(1)} e x^{(2)} concordam em x^{(1)}(n)=x^{(2)}(n) (mas podem diferir em outros instantes), então necessariamente \mathcal{H}x^{(1)}(n)=\mathcal{H}x^{(2)}(n).

Passo 3

Agora olhamos para o sistema dado:
\mathcal{H}x(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x(k).
Observe a soma: os termos são x(n), x(n+1), x(n+2),\dots. Ou seja, a expressão envolve x(k) para índices k\ge n, não apenas para k=n. Isso já sugere que a saída em n pode depender de valores de entrada em instantes diferentes de n.

Passo 4

Para ser completamente convincente, fazemos um contraexemplo concreto (jeito canônico de provar que algo não é verdade):
  • Defina dois sinais de entrada x^{(1)}\) e \(x^{(2)}\) que coincidem em \(x^{(1)}(n)=x^{(2)}(n)\) mas diferem em \(x(n+1)\). Por exemplo, para um dado \(n\) fixo, tome \[x^{(1)}(k)=\begin{cases} 0, & k\neq n+1,\\[4pt] 1, & k=n+1, \end{cases} \qquad x^{(2)}(k)=0\\ \text{para todo }k.
  • Note que x^{(1)}(n)=0=x^{(2)}(n)\] (eles coincidem em \(k=n), mas x^{(1)}(n+1)=1 e x^{(2)}(n+1)=0.
  • Calcule as saídas no mesmo instante n:
\mathcal{H}x^{(1)}(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x^{(1)}(k)=x^{(1)}(n)+x^{(1)}(n+1)+\cdots = 0+1+0+\cdots = 1,
\mathcal{H}x^{(2)}(n)=\sum_{k=n}^{\infty} x^{(2)}(k)=0+0+\cdots = 0.
  • As saídas em n são diferentes mesmo que as entradas em n fossem iguais. Pela definição de sistema memoryless (ver Passo 2), isso mostra que a saída em n não é determinada apenas por x(n): depende também de x(n+1) (e possivelmente de outros x(k), k>n).]

Passo 5

Resumo do raciocínio aprendido aqui (dicas para a prova): para testar memorylessness sempre verifique se a expressão de y(n) envolve valores x(k) com k\neq n. Se envolver qualquer k diferente de n, o sistema tem memória. Uma prova direta por contraexemplo como a do Passo 4 é a forma mais simples e segura na prova.

Resposta

Não. O sistema não é memoryless (não é sem memória): \mathcal{H}x(n)=\sum_{k=n}^{\infty}x(k) depende de x(k) para k>n.

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