Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(n)=x(n+1)-x(n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema dado é memoryless. O sistema fornecido é
\mathcal{H}x(n)=x(n+1)-x(n).
Informações relevantes: a expressão do valor de saída em tempo n em termos dos valores de entrada em instantes n e n+1.

Passo 2

Definição prática e útil de memoryless (sem memória): um sistema é memoryless se, para todo instante n, o valor de saída y(n) depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante n. Uma forma equivalente e muito usada é:
\text{o sistema é memoryless} \iff \text{para quaisquer duas entradas }x_1,x_2\text{ e todo }n,\; x_1(n)=x_2(n)\Rightarrow y_1(n)=y_2(n),é
onde y_i=\mathcal{H}x_i. Ou seja: se duas entradas coincidem em n, as saídas também devem coincidir em n.

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema dado: escrevendo y(n)=\mathcal{H}x(n) temos
y(n)=x(n+1)-x(n).
Aqui o lado direito usa x(n+1) e x(n). Observe que há dependência explícita de x em um instante diferente de n (no caso n+1). Isso já sugere memória (e até dependência do futuro), mas para ser rigoroso vamos usar o teste com duas entradas que coincidem em n e mostrar que as saídas podem ser diferentes.

Passo 4

Construir um contraexemplo simples. Fixe um índice n\) qualquer e defina duas sequências de entrada \(x_1\) e \(x_2\) por exemplo assim: \[x_1(k)=0\quad\text{para todo inteiro }k,
x_2(k)=\begin{cases} 1, & k=n+1,\\[2pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Então claramente x_1(n)=0\] e \(x_2(n)=0, ou seja x_1(n)=x_2(n). Calcule as saídas no instante n:
y_1(n)=\mathcal{H}x_1(n)=x_1(n+1)-x_1(n)=0-0=0,
y_2(n)=\mathcal{H}x_2(n)=x_2(n+1)-x_2(n)=1-0=1.
Portanto y_1(n)\neq y_2(n) apesar de x_1(n)=x_2(n). Isso viola a condição necessária para o sistema ser memoryless.]

Passo 5

Conclusão lógica: já existe um par de entradas que coincidem no instante n e produzem saídas diferentes em n, logo o sistema não é memoryless. (Comentário adicional amigável: além de ter memória, o sistema usa x(n+1), isto é, depende do futuro, portanto também é não causal — mas a pergunta pedia apenas sobre memória.)

Resposta

Não, o sistema não é memoryless.

Exercícios relacionados