Determine whether each system
given below is memoryless.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema dado é memoryless. O sistema fornecido é
Informações relevantes: a expressão do valor de saída em tempo
em termos dos valores de entrada em instantes
e
.
Passo 2
Definição prática e útil de memoryless (sem memória): um sistema é memoryless se, para todo instante
, o valor de saída
depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante
. Uma forma equivalente e muito usada é:
onde
. Ou seja: se duas entradas coincidem em
, as saídas também devem coincidir em
.
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema dado: escrevendo
temos
Aqui o lado direito usa
e
. Observe que há dependência explícita de
em um instante diferente de
(no caso
). Isso já sugere memória (e até dependência do futuro), mas para ser rigoroso vamos usar o teste com duas entradas que coincidem em
e mostrar que as saídas podem ser diferentes.
Passo 4
Construir um contraexemplo simples. Fixe um índice
Então claramente
, ou seja
. Calcule as saídas no instante
:
Portanto
apesar de
. Isso viola a condição necessária para o sistema ser memoryless.]
Passo 5
Conclusão lógica: já existe um par de entradas que coincidem no instante
e produzem saídas diferentes em
, logo o sistema não é memoryless. (Comentário adicional amigável: além de ter memória, o sistema usa
, isto é, depende do futuro, portanto também é não causal — mas a pergunta pedia apenas sobre memória.)
Resposta
Não, o sistema não é memoryless.