Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
Rendimento x_{i} 2600 1400 2150 2750 950 3650 3200 2450 2600 1550 1850 1700
Tempo y_{i} 6 5 4 6 5 5 5 5 4 6 5 6
Complete a frase da forma que considerar mais correta neste contexto: Quando uma variável aumenta, a outra

Passo 1

O enunciado pede para completar a frase: “Quando uma variável aumenta, a outra □”.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado). Há n=12 observações:
Rendimento x_i:
2600,\\\ 1400,\\\ 2150,\\\ 2750,\\\ 950,\\\ 3650,\\\ 3200,\\\ 2450,\\\ 2600,\\\ 1550,\\\ 1850,\\\ 1700
Tempo y_i (horas/semana):
6,\\\ 5,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 5,\\\ 6
O que se quer saber é o tipo de relação entre as duas variáveis: quando uma aumenta, a outra tende a aumentar, diminuir, permanecer sem variação, etc. Vou quantificar essa relação com uma medida padrão para relações lineares (correlação), e interpretar o resultado de forma clara e prática.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta): para saber como uma variável muda quando a outra cambia, a ferramenta mais direta é o coeficiente de correlação linear de Pearson. Ele mede a intensidade e o sentido (positivo/negativo) de uma relação linear entre duas variáveis. Vou calcular esse coeficiente e interpretar o sinal (positivo/negativo) e a intensidade (próximo de 0 = fraco, próximo de \pm1 = forte).

Passo 3

Definição do coeficiente de correlação de Pearson (aula curta):
r \;=\; \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}\right)}}
onde:
  • n é o número de observações;
  • \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i é a média dos rendimentos;
  • \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i é a média dos tempos;
  • o numerador é a soma dos produtos das diferenças em relação às médias (medida de covariância não normalizada);
  • o denominador normaliza pelo produto das dispersões, dando um valor adimensional entre -1 e 1.
Interpretação prática do sinal:
  • r>0: quando x aumenta, y tende a aumentar (relação positiva);
  • r<0: quando x aumenta, y tende a diminuir (relação negativa);
  • |r| pequeno (por exemplo <0{,}3) indica relação linear fraca.

Passo 4

Calcular médias (contas passo a passo):
Somas:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 26850,\qquad \sum_{i=1}^{12} y_i = 62.
Médias:
\bar{x}=\frac{26850}{12}=2237{,}5, \qquad \bar{y}=\frac{62}{12}=\frac{31}{6}\approx 5{,}166666\ldots

Passo 5

Calcular o numerador \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}).
Vou mostrar para cada par (x_i,y_i) o desvio em relação à média e o produto; em seguida somo tudo.
  1. x_1=2600,\\ y_1=6: x_1-\bar{x}=362{,}5,\\ y_1-\bar{y}=\tfrac{5}{6}, produto =362{,}5\cdot\tfrac{5}{6}=302{,}083333\ldots
  2. 1400,\\\ 5: -837{,}5,\\\ -\tfrac{1}{6}, produto =139{,}583333\ldots
  3. 2150,\\\ 4: -87{,}5,\\\ -\tfrac{7}{6}, produto =102{,}083333\ldots
  4. 2750,\\\ 6: 512{,}5,\\ \tfrac{5}{6}, produto =427{,}083333\ldots
  5. 950,\\\ 5: -1287{,}5,\\\ -\tfrac{1}{6}, produto =214{,}583333\ldots
  6. 3650,\\\ 5: 1412{,}5,\\\ -\tfrac{1}{6}, produto =-235{,}416666\ldots
  7. 3200,\\\ 5: 962{,}5,\\\ -\tfrac{1}{6}, produto =-160{,}416666\ldots
  8. 2450,\\\ 5: 212{,}5,\\\ -\tfrac{1}{6}, produto =-35{,}416666\ldots
  9. 2600,\\\ 4: 362{,}5,\\\ -\tfrac{7}{6}, produto =-422{,}916666\ldots
  10. 1550,\\\ 6: -687{,}5,\\ \tfrac{5}{6}, produto =-572{,}916666\ldots
  11. 1850,\\\ 5: -387{,}5,\\\ -\tfrac{1}{6}, produto =64{,}583333\ldots
  12. 1700,\\\ 6: -537{,}5,\\ \tfrac{5}{6}, produto =-447{,}916666\ldots
Somando todos os produtos obtém-se exatamente
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = -625.

Passo 6

Calcular \sum (x_i-\bar{x})^2 (dispersão de x) — mostro alguns termos e a soma final:
Quadrados dos desvios x_i-\bar{x}:
362{,}5^{2}=131406{,}25,\quad 837{,}5^{2}=701406{,}25,\quad 87{,}5^{2}=7656{,}25,\\ \ldots
Somando todos os 12 termos obtemos
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^{2} = 6770625.

Passo 7

Calcular \sum (y_i-\bar{y})^2 (dispersão de y). Usando os desvios que já listámos:
  • há quatro ocorrências de y_i-\bar{y}=\tfrac{5}{6} ( y=6),
  • seis ocorrências de -\tfrac{1}{6} ( y=5),
  • duas ocorrências de -\tfrac{7}{6} ( y=4).
Portanto
\sum_{i=1}^{12}(y_i-\bar{y})^{2} =4\cdot\left(\tfrac{5}{6}\right)^{2}+6\cdot\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}+2\cdot\left(\tfrac{7}{6}\right)^{2} =\frac{17}{3}\approx 5{,}666666\ldots

Passo 8

Calcular o coeficiente r:
r=\frac{-625}{\sqrt{6770625\cdot\frac{17}{3}}} =\frac{-625}{\sqrt{38366875}} \approx \frac{-625}{6194{,}10}\approx -0{,}101.

Passo 9

Interpretação (aula curta e prática):
  • O sinal negativo ( r<0) indica que, em termos lineares, quando x (rendimento) aumenta, y (tempo em atividades) tende a diminuir. Ou seja, relação negativa.
  • Mas o valor absoluto |r|\approx 0{,}10 é muito pequeno: isso significa que a relação linear entre rendimento e tempo é fraca. Na prática, os rendimentos não explicam bem as variações do tempo de atividades extracurriculares — a associação é muito fraca e pode não ser relevante para previsões.
  • Conclusão prática: existe uma tendência ligeira de diminuição do tempo com o aumento do rendimento, mas essa tendência é muito fraca (praticamente quase inexistente).

Passo 10

Resposta final para completar a frase: escolher a opção que traduza o sentido e a intensidade da relação. A forma mais correta e informativa é dizer que “a outra tende a diminuir, porém muito ligeiramente (relação fraca)”.

Resposta

diminui (ligeiramente — correlação linear negativa fraca, r\approx-0{,}101)

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