Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
Rendimento x_{i} 2600 1400 2150 2750 950 3650 3200 2450 2600 1550 1850 1700
Tempo y_{i} 6 5 4 6 5 5 5 5 4 6 5 6
Complete a seguinte frase: considerando um valor de 2150 para a variável Rendimento o modelo linear prevê um valor médio de □ para a variável Tempo.

Passo 1

O enunciado pede: considerando o valor \,2150\, para a variável Rendimento, qual é o valor médio previsto para a variável Tempo pelo modelo linear ajustado aos dados fornecidos?
Informações dadas (peguei todos os números do enunciado):
  • Amostra com n=12 observações.
  • Valores de Rendimento \,x_i: \,2600,\,1400,\,2150,\,2750,\,950,\,3650,\,3200,\,2450,\,2600,\,1550,\,1850,\,1700\,.
  • Valores de Tempo \,y_i: \,6,\,5,\,4,\,6,\,5,\,5,\,5,\,5,\,4,\,6,\,5,\,6\,.
  • Pede-se a previsão média de \,Y quando \,X=2150 usando o modelo de regressão linear simples (ajustar Y em função de X com reta).

Passo 2

Primeiro calculamos as médias amostrais \bar{X} e \bar{Y}.
Soma dos tempos:
\sum_{i=1}^{12} y_i = 6+5+4+6+5+5+5+5+4+6+5+6 = 62.
Logo
\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{62}{12} = \frac{31}{6} \approx 5,166666\ldots
Soma dos rendimentos:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 2600+1400+2150+2750+950+3650+3200+2450+2600+1550+1850+1700 = 26850.
Logo
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{26850}{12} = 2237{,}5.

Passo 3

Para obter os coeficientes da regressão usamos as somas necessárias:
\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 138100, \qquad \sum_{i=1}^{12} x_i^2 = 66847500.
(esses valores foram calculados a partir dos pares (x_i,y_i) fornecidos).
As quantidades centrais são
S_{XY}=\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{X}\bar{Y}, \qquad S_{XX}=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{X}^2.

Passo 4

Calculamos S_{XY} e S_{XX} numericamente:
n\bar{X}\bar{Y}=12\cdot 2237{,}5\cdot\frac{31}{6}=2237{,}5\cdot 62 = 138725.
Portanto
S_{XY}=138100-138725 = -625.
Para S_{XX}:
\bar{X}^2 = 2237{,}5^2 = 5006406{,}25, \qquad n\bar{X}^2 = 12\cdot 5006406{,}25 = 60076875.
Logo
S_{XX}=66847500-60076875 = 6770625.

Passo 5

O estimador de inclinação (coeficiente angular) da reta de regressão é
\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{-625}{6770625} = -\frac{1}{10833}\approx -0{,}00009234.
O intercepto estimado é
\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X}.
Mas para prever em um x_0 é mais simples usar a forma deslocada:
\hat{Y}(x_0)=\bar{Y}+\hat{\beta}_1 (x_0-\bar{X}).

Passo 6

Aplicando a fórmula para x_0=2150:
x_0-\bar{X} = 2150-2237{,}5 = -87{,}5.
\hat{\beta}_1(x_0-\bar{X}) = -\frac{1}{10833}\cdot(-87{,}5) = \frac{87{,}5}{10833} \approx 0{,}0080771719.
Portanto
\hat{Y}(2150) = \bar{Y} + \hat{\beta}_1(2150-\bar{X}) \approx 5{,}166666\ldots + 0{,}0080771719 \approx 5{,}1747438386.
Interpretação prática: o modelo linear ajustado prevê que, para um rendimento de \,2150 euros, o tempo médio em atividades extracurriculares é cerca de \,5{,}175 horas por semana. Força aí — está ficando claro 😃

Resposta

\approx 5{,}1747438386\\ \text{horas por semana}

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