Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
Rendimento x_{i} 2600 1400 2150 2750 950 3650 3200 2450 2600 1550 1850 1700
Tempo y_{i} 6 5 4 6 5 5 5 5 4 6 5 6
Determine o coeficiente de correlação entre as variáveis: □ (Escreva NA, caso não seja aplicável.)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o coeficiente de correlação entre as variáveis Rendimento e Tempo.
Os dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado) são os pares (x_i,y_i) abaixo:
x_i:\\\ 2600,\\\ 1400,\\\ 2150,\\\ 2750,\\\ 950,\\\ 3650,\\\ 3200,\\\ 2450,\\\ 2600,\\\ 1550,\\\ 1850,\\\ 1700.
y_i:\\\ 6,\\\ 5,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 5,\\\ 6.
Queremos calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson para estes n=12 pares.

Passo 2

Vou calcular as somas necessárias (mostrando os resultados dos cálculos):
Número de observações:
n=12.
Somas básicas:
\sum x_i = 26850, \qquad \sum y_i = 62.
Somas dos quadrados:
\sum x_i^2 = 66847500, \qquad \sum y_i^2 = 326.
Soma dos produtos:
\sum x_i y_i = 138100.
(Se alguém duvida: cada um desses números foi obtido somando diretamente os x_i, os y_i, os x_i^2 e os x_i y_i listados no passo 1.)

Passo 3

Agora a fórmula do coeficiente de correlação linear de Pearson. Vou explicar o que cada símbolo significa.
A fórmula é:
r=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)} {\sqrt{\left(n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2\right)\left(n\sum y_i^2 - \left(\sum y_i\right)^2\right)}}.
Explicando:
  • r é o coeficiente de correlação entre X (Rendimento) e Y (Tempo).
  • n é o número de pares (aqui n=12).
  • \sum x_i e \sum y_i são as somas das observações de cada variável.
  • \sum x_i^2, \sum y_i^2 são as somas dos quadrados.
  • \sum x_i y_i é a soma dos produtos par a par.
    O numerador mede a covariância (proporcional) entre X e Y. O denominador normaliza pelo produto dos desvios (variâncias), garantindo que -1\le r\le1.

Passo 4

Calcular o numerador:
n\sum x_i y_i = 12\cdot 138100 = 1657200,
\left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right) = 26850\cdot 62 = 1664700,
portanto
\text{numerador} = 1657200 - 1664700 = -7500.

Passo 5

Calcular os termos do denominador:
Primeiro termo:
n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2 =12\cdot 66847500 - 26850^2 =802170000 - 720922500 =81247500.
Segundo termo:
n\sum y_i^2 - \left(\sum y_i\right)^2 =12\cdot 326 - 62^2 =3912 - 3844 =68.

Passo 6

Agora o denominador completo:
\text{denominador}=\sqrt{81247500\cdot 68}=\sqrt{5524830000}\approx 74329{,}2.

Passo 7

Finalmente o coeficiente:
r=\frac{-7500}{74329{,}2}\approx -0{,}101.
Interpretação rápida e amigável: o r\approx -0{,}101 indica uma correlação linear muito fraca e negativa entre rendimento e tempo em atividades extracurriculares — praticamente ausência de relação linear forte nos dados desta amostra.

Resposta

-0,101

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