No estudo de trajetórias de partículas, em processos de solidificação de materiais, considere que a posição de uma partícula no espaço, é descrita por:
r(t)=\left\langle\cos t, \sin t, \frac{t}{2}\right\rangle
Calcule a curvatura \boldsymbol{k}(\boldsymbol{t}) da curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
r(t)=\left\langle \cos t,\; \sin t,\; \frac{t}{2}\right\rangle.
A pergunta é: calcular a curvatura \kappa(t) da curva descrita por r(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está dada em coordenadas cartesianas por componentes explícitas de t.
  • Não foi pedido nenhum método específico, então vamos usar a fórmula prática para curvatura em termos de derivadas de r(t).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo): a curvatura \kappa(t) mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento. Uma fórmula direta e muito usada quando a curva está parametrizada por t é
\kappa(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}.
O que cada símbolo significa:
  • r'(t) é a velocidade (derivada de r em relação a t).
  • r''(t) é a aceleração (segunda derivada).
  • \times é o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor (comprimento).
    Essa fórmula vem da relação entre derivada do vetor tangente em relação ao comprimento de arco e a norma do produto vetorial; é a forma prática quando a parametrização não é por comprimento de arco.

Passo 3

Calcular r'(t) componente a componente (lembrando derivadas básicas: \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \frac{d}{dt}\sin t=\cos t, \frac{d}{dt}\frac{t}{2}=\frac{1}{2}):
r'(t)=\left\langle -\sin t,\; \cos t,\; \frac{1}{2}\right\rangle.

Passo 4

Calcular r''(t) derivando novamente cada componente:
r''(t)=\left\langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0\right\rangle.

Passo 5

Calcular o produto vetorial r'(t)\times r''(t). Usando a fórmula do determinante:
r'(t)\times r''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -\sin t & \cos t & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}: \cos t\cdot 0 - \tfrac{1}{2}\cdot(-\sin t)=\tfrac{1}{2}\sin t.
  • Componente \mathbf{j}: -\sin t\cdot 0 - \tfrac{1}{2}\cdot(-\cos t)=\tfrac{1}{2}\cos t, lembrando o sinal negativo do cofator para \mathbf{j} -\tfrac{1}{2}\cos t.
  • Componente \mathbf{k}: -\sin t\cdot(-\sin t) - \cos t\cdot(-\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Portanto
r'(t)\times r''(t)=\left\langle \tfrac{1}{2}\sin t,\; -\tfrac{1}{2}\cos t,\; 1\right\rangle.]

Passo 6

Calcular a norma de r'(t)\times r''(t):
\|r'(t)\times r''(t)\| = \sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\sin t\right)^{2} + \left(-\tfrac{1}{2}\cos t\right)^{2} + 1^{2}}.
Simplificando usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1:
\|r'(t)\times r''(t)\| = \sqrt{\tfrac{1}{4}(\sin^{2}t+\cos^{2}t) + 1} = \sqrt{\tfrac{1}{4}\cdot 1 + 1} = \sqrt{\tfrac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Calcular a norma de r'(t):
\|r'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+\tfrac{1}{4}} = \sqrt{1+\tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 8

Agora aplicar a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}} = \frac{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^{3}}.
Calcule o denominador:
\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^{3}=\dfrac{(\sqrt{5})^{3}}{8}=\dfrac{5\sqrt{5}}{8}.
Portanto
\kappa(t)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{5\sqrt{5}}{8}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{8}{5\sqrt{5}} = \dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}.

Passo 9

Interpretação final curta e motivadora: a curvatura é constante igual a \dfrac{4}{5}, isto é, a curva tem curvatura uniforme ao longo do tempo. O raio de curvatura é 1/\kappa=\dfrac{5}{4}. Mandando bem — a conta ficou limpa porque as componentes trigonométricas se combinaram graças a \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{4}{5}

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