No estudo de trajetórias de partículas, em processos de solidificação de materiais, considere que a posição de uma partícula no espaço, é descrita por:
A pergunta é: calcular a curvatura \kappa(t) da curva descrita por r(t).
Informações relevantes fornecidas:
A curva está dada em coordenadas cartesianas por componentes explícitas de t.
Não foi pedido nenhum método específico, então vamos usar a fórmula prática para curvatura em termos de derivadas de r(t).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo): a curvatura \kappa(t) mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento. Uma fórmula direta e muito usada quando a curva está parametrizada por t é
r'(t) é a velocidade (derivada de r em relação a t).
r''(t) é a aceleração (segunda derivada).
\times é o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3.
\|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor (comprimento).
Essa fórmula vem da relação entre derivada do vetor tangente em relação ao comprimento de arco e a norma do produto vetorial; é a forma prática quando a parametrização não é por comprimento de arco.
Calcular o produto vetorial r'(t)\times r''(t). Usando a fórmula do determinante:
r'(t)\times r''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -\sin t & \cos t & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
Componente \mathbf{i}: \cos t\cdot 0 - \tfrac{1}{2}\cdot(-\sin t)=\tfrac{1}{2}\sin t.
Componente \mathbf{j}: -\sin t\cdot 0 - \tfrac{1}{2}\cdot(-\cos t)=\tfrac{1}{2}\cos t, lembrando o sinal negativo do cofator para \mathbf{j} dá -\tfrac{1}{2}\cos t.
Interpretação final curta e motivadora: a curvatura é constante igual a \dfrac{4}{5}, isto é, a curva tem curvatura uniforme ao longo do tempo. O raio de curvatura é 1/\kappa=\dfrac{5}{4}. Mandando bem — a conta ficou limpa porque as componentes trigonométricas se combinaram graças a \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.