Calcule as integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} \frac{x \cos ^{2} x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede calcular a integral imprópria
\displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\frac{x\cos^{2}x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
  • Informação útil imediata: a integral é sobre [0,\infty). A função integranda envolve \cos^{2}x, a presença do fator x no numerador e do denominador (x^{2}+1)^{2} garante decaimento em \infty (comportamento \sim x^{-3}), então a integral converge absolutamente.
  • Pergunta aberta: calcular explicitamente o valor numérico/exato de I.

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a identidade trigonométrica para tirar a potência do cosseno e separar termos mais simples que possamos tratar com técnicas de transformadas/resíduos.
A identidade é
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Substituindo na integral temos
I=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\cdot\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx +\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x\cos(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Defino duas parcelas:
I_1=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx, \qquad I_2=\int_{0}^{\infty}\frac{x\cos(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx,
de modo que
I=\frac{1}{2}I_1+\frac{1}{2}I_2.

Passo 3

Calcular I_1 (esta é a parte simples e algébrica).
Usamos a substituição clássica u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx e quando x varia de 0 a \infty, u varia de 1 a \infty. Assim
I_1=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}u^{-2}\,du.
Integro u^{-2}:
\int_{1}^{\infty}u^{-2}\,du=\left[-u^{-1}\right]_{1}^{\infty}=0-(-1)=1.
Portanto
I_1=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora lidar com I_2=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x\cos(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Uma técnica eficiente aqui é integração por partes no integral em x, escolhendo de forma a tirar a derivada do fator racional (já que sua derivada é simples). Tomemos
u=\cos(2x),\qquad dv=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Calculamos du=-2\sin(2x)\,dx. Para v precisamos integrar dv:
v=\int\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Fazendo a mesma mudança t=x^{2}+1, dt=2x\,dx, obtemos
v=\frac{1}{2}\int t^{-2}\,dt=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t}=-\frac{1}{2(x^{2}+1)}.
Aplicando integração por partes (fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du) em I_2:
I_2=\left.\cos(2x)\left(-\frac{1}{2(x^{2}+1)}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2(x^{2}+1)}\right)\cdot(-2\sin(2x))\,dx.
Simplificando termos e sinais:
  • O termo de contorno: quando x\to\infty, \cos(2x)/(x^{2}+1)\to0. Em x=0, \cos(0)=1 e 1/(x^{2}+1)=1, então o termo de contorno vale
\left(0\right)-\left(-\frac{1}{2}\cdot 1\right)=\frac{1}{2}.
  • O integrando restante: note que os sinais se combinam para dar um sinal negativo global:
- \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2(x^{2}+1)}\right)\cdot(-2\sin(2x))\,dx = -\int_{0}^{\infty}\frac{2}{2}\frac{\sin(2x)}{x^{2}+1}\,dx = -\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2x)}{x^{2}+1}\,dx.
Portanto obtemos a relação
I_2=\frac{1}{2}-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2x)}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Agora precisamos da integral
S:=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2x)}{x^{2}+1}\,dx.
Esta integral é clássica e pode ser calculada por transformada de Fourier/contorno: existe a fórmula conhecida (obtida por fechar o contorno no semiplano superior para a transformada de \dfrac{1}{x^{2}+1}) para qualquer a>0:
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(a x)}{x^{2}+1}\,dx=\frac{\pi}{2}e^{-a}\qquad (a>0).
Vamos explicar rapidamente por que essa fórmula é verdadeira (passo didático, sem pular etapas):
  • A transformada de Fourier conhecida é \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i a x}}{x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-|a|}.
  • Separando em parte real e imaginária e usando simetrias (o integrando com \sin é ímpar enquanto o denominador é par) obtém-se, depois de manipulações padrão de contorno, a expressão acima para a meia-linha positiva. (Em cálculos padrão de análise complexa fecha-se o contorno no semiplano superior quando a>0; o polo em i produz a contribuição \tfrac{\pi}{2}e^{-a} que é a resposta para a integral com seno.)
    Aplicando para a=2 temos
S=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2x)}{x^{2}+1}\,dx=\frac{\pi}{2}e^{-2}.

Passo 6

Voltar a I_2 com o valor de S:
I_2=\frac{1}{2}-S=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{2}e^{-2}.

Passo 7

Lembrando que
I=\frac{1}{2}I_1+\frac{1}{2}I_2
e que I_1=\dfrac{1}{2}, substituímos:
I=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{\pi}{2}e^{-2}\right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{\pi}{4}e^{-2} =\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}e^{-2}.

Resposta

\displaystyle I=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}e^{-2}.

Exercícios relacionados