Informação útil imediata: a integral é sobre [0,\infty). A função integranda envolve \cos^{2}x, a presença do fator x no numerador e do denominador (x^{2}+1)^{2} garante decaimento em \infty (comportamento \sim x^{-3}), então a integral converge absolutamente.
Pergunta aberta: calcular explicitamente o valor numérico/exato de I.
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a identidade trigonométrica para tirar a potência do cosseno e separar termos mais simples que possamos tratar com técnicas de transformadas/resíduos.
Agora lidar com I_2=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x\cos(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Uma técnica eficiente aqui é integração por partes no integral em x, escolhendo de forma a tirar a derivada do fator racional (já que sua derivada é simples). Tomemos
u=\cos(2x),\qquad dv=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Calculamos du=-2\sin(2x)\,dx. Para v precisamos integrar dv:
v=\int\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Fazendo a mesma mudança t=x^{2}+1, dt=2x\,dx, obtemos
Esta integral é clássica e pode ser calculada por transformada de Fourier/contorno: existe a fórmula conhecida (obtida por fechar o contorno no semiplano superior para a transformada de \dfrac{1}{x^{2}+1}) para qualquer a>0:
Vamos explicar rapidamente por que essa fórmula é verdadeira (passo didático, sem pular etapas):
A transformada de Fourier conhecida é \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i a x}}{x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-|a|}.
Separando em parte real e imaginária e usando simetrias (o integrando com \sin é ímpar enquanto o denominador é par) obtém-se, depois de manipulações padrão de contorno, a expressão acima para a meia-linha positiva. (Em cálculos padrão de análise complexa fecha-se o contorno no semiplano superior quando a>0; o polo em i produz a contribuição \tfrac{\pi}{2}e^{-a} que é a resposta para a integral com seno.)
Aplicando para a=2 temos