PROBLEMA RESOLVIDO 2.4
A barra rígida
está ligada a um pino com apoio em
e apoiada sobre o cilindro
de latão, com 30 mm de diâmetro. Uma barra de aço
com diâmetro de 22 mm passa através de um furo na barra e está presa por uma porca que está ajustada quando a temperatura do conjunto todo é de
. A temperatura do cilindro de latão é então elevada para
enquanto a barra de aço permanece a
. Supondo que não havia tensões presentes antes da variação de temperatura, determine a tensão no cilindro.
Barra AC: Aço
Cilindro BD: Latão
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (listei exatamente os dados fornecidos):
- Material da barra
: aço, com - Material do cilindro
: latão, com - Diâmetros:
- Condição térmica inicial: conjunto sem tensões a
. - A seguir: o cilindro de latão é aquecido para
enquanto a barra de aço permanece a . Portanto - O enunciado pede: determinar a tensão no cilindro de latão (ou seja, a tensão induzida em
) após o aquecimento.
Dados que aparecem implicitamente no problema mas NÃO foram fornecidos no texto que recebi:
- A figura original tem a barra rígida
apoiada sobre o cilindro em e ligada por um pino em ; a mesma barra passa pelo furo em por onde passa a barra de aço . Para relacionar o aumento de comprimento do cilindro com a elongação da barra de aço é necessário conhecer as distâncias geométricas (por exemplo, as distâncias do pivô até e até , e o comprimento ativo da barra de aço entre e a barra rígida). Vou nomear essas distâncias nas próximas etapas.
Passo 2
Definindo variáveis geométricas e hipóteses (importante para montar as equações; estas quantidades deveriam constar da figura):
- Seja
a distância do pivô em até o ponto de apoio (local onde o cilindro empurra a barra rígida). - Seja
a distância do pivô em até o fu ro onde passa a barra (ponto ). - Seja
o comprimento efetivo da barra de aço que se deforma axialmente (comprimento entre o ponto fixo e a peça que transmite deslocamento em ). - O cilindro tem altura vertical inicial igual ao seu diâmetro
; portanto a variação térmica livre em altura do cilindro é - Áreas transversais dos dois elementos (para a mesma unidade, usar mm):
Note que o fator cancela ao formar a razão . - Hipóteses mecânicas: materiais lineares e elásticos (Lei de Hooke), pequenas rotações da barra rígida (pode-se usar aproximação
para deslocamentos verticais), barra rígida (logo deslocamentos verticais em e estão relacionados por rotação ), ausência de deslizamento entre cilindro e barra (contato perfeito), as forças internas atuam axialmente na barra de aço e no cilindro.
Passo 3
Escrever as leis físicas que vamos usar (aulas teóricas rápidas — o que cada fórmula significa):
- Expansão térmica livre (uma “aula curta”): quando um corpo de comprimento
e coeficiente térmico sofre variação de temperatura , sua variação de comprimento livre é Aqui o cilindro tenta aumentar sua altura inicial em . - Lei de Hooke (relações tensão-deformação): sob uma tensão axial uniforme
num elemento de comprimento e módulo , a deformação axial é e a variação de comprimento elástica (devido à tensão) é Para o cilindro, uma tensão compressiva reduz sua altura por . Para a barra de aço, tensão (positiva = tração) alonga a barra por . - Equilíbrio de forças internas (estática axial): a força axial gerada é igual em módulo no par barra–cilindro (tensão vezes área),
Assim
Passo 4
Compatibilidade de deslocamentos usando a barra rígida (aula de geometria pequena-rotação):
- A barra rígida gira um pequeno ângulo
em torno do pivô . O deslocamento vertical do ponto de apoio (onde o cilindro empurra) é aproximadamente . - O deslocamento vertical do ponto
(onde passa a barra de aço) é . - O cilindro, se livre, tentaria aumentar sua altura em
, mas a presença da força de contato resulta numa redução elástica . O deslocamento efetivo do topo do cilindro que contribui para levantar a barra é, portanto, - A barra rígida impõe que
e estejam relacionados por rotação: e . A deformação axial da barra de aço é exatamente o deslocamento relativo em (a barra axial se alonga de acordo com o quanto o fu ro em se afasta do ponto fixo ), logo - Substituindo
em obtemos a relação de compatibilidade: Agora substituímos as expressões:
Passo 5
Usar equilíbrio das forças para eliminar
e isolar
(passo algébrico explicado devagar):
- Da etapa de equilíbrio temos
. Inserindo isso na equação de compatibilidade: - Agrupando os termos que multiplicam
no membro da direita / esquerdo: - Portanto a expressão geral para a tensão do cilindro (módulo) é
Essa é a fórmula que dá a tensão compressiva no cilindro em função dos módulos , coeficientes , diâmetro , áreas (que dependem dos diâmetros dados) e das dimensões geométricas que vêm da figura.
Passo 6
Substituições práticas que faltam para obter um número (mostro como aplicar se os comprimentos forem conhecidos):
- Razão de áreas (esta parte pode ser avaliada com os diâmetros fornecidos):
- Expansão térmica livre do cilindro (valor numérico usando os dados fornecidos):
- Os módulos na mesma unidade (para trabalhar com
em = MPa): - Com os valores acima, a única coisa que falta para calcular numericamente
são as dimensões geométricas vindas da figura original. Sem elas não é possível avaliar o termo e, portanto, não dá para obter o valor numérico final.
Passo 7
Resumo didático do procedimento que se usa na prova (passos rápidos para aplicar quando a figura e os comprimentos forem dados):
- Calcule
e a partir dos diâmetros. - Calcule
. - Monte a compatibilidade geométrica via rotação pequena:
e , com e . - Use equilíbrio
. - Resolva algebricamente para
(chega-se à fórmula do Passo 5). - Substitua números e obtenha
em (MPa). Se precisar da força , use .
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão no cilindro com os dados fornecidos, porque faltam as dimensões geométricas vindas da figura (por exemplo
). A expressão geral obtida para a tensão compressiva no cilindro é:
onde
e
.