PROBLEMA RESOLVIDO 2.4

A barra rígida C D E está ligada a um pino com apoio em E e apoiada sobre o cilindro B D de latão, com 30 mm de diâmetro. Uma barra de aço A C com diâmetro de 22 mm passa através de um furo na barra e está presa por uma porca que está ajustada quando a temperatura do conjunto todo é de 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura do cilindro de latão é então elevada para 50^{\circ} \mathrm{C} enquanto a barra de aço permanece a 20^{\circ} \mathrm{C}. Supondo que não havia tensões presentes antes da variação de temperatura, determine a tensão no cilindro.
Barra AC: Aço
\begin{aligned} E & =200 \mathrm{GPa} \\\ \alpha & =11,7 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} \end{aligned}
Cilindro BD: Latão
\begin{aligned} E & =105 \mathrm{GPa} \\\ \alpha & =20,9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (listei exatamente os dados fornecidos):
  • Material da barra A C: aço, com E_s = 200\\ \text{GPa},\qquad \alpha_s = 11{,}7\times10^{-6}/^{\circ}\mathrm{C}.
  • Material do cilindro B D: latão, com E_b = 105\\ \text{GPa},\qquad \alpha_b = 20{,}9\times10^{-6}/^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diâmetros: \text{barra (aço): } d_s = 22\\ \text{mm},\qquad \text{cilindro (latão): } d_b = 30\\ \text{mm}.çã
  • Condição térmica inicial: conjunto sem tensões a 20^\circ\mathrm{C}.
  • A seguir: o cilindro de latão é aquecido para 50^\circ\mathrm{C} enquanto a barra de aço permanece a 20^\circ\mathrm{C}. Portanto \Delta T_b = 50-20 = 30^\circ\mathrm{C},\qquad \Delta T_s = 0^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede: determinar a tensão no cilindro de latão (ou seja, a tensão induzida em B D) após o aquecimento.
Dados que aparecem implicitamente no problema mas NÃO foram fornecidos no texto que recebi:
  • A figura original tem a barra rígida C D E apoiada sobre o cilindro em D e ligada por um pino em E; a mesma barra passa pelo furo em C por onde passa a barra de aço A C. Para relacionar o aumento de comprimento do cilindro com a elongação da barra de aço é necessário conhecer as distâncias geométricas (por exemplo, as distâncias do pivô E até D e até C, e o comprimento ativo da barra de aço entre A e a barra rígida). Vou nomear essas distâncias nas próximas etapas.

Passo 2

Definindo variáveis geométricas e hipóteses (importante para montar as equações; estas quantidades deveriam constar da figura):
  • Seja L_1 a distância do pivô em E até o ponto de apoio D (local onde o cilindro empurra a barra rígida).
  • Seja L_2 a distância do pivô em E até o fu ro onde passa a barra A C (ponto C).
  • Seja L_s o comprimento efetivo da barra de aço que se deforma axialmente (comprimento entre o ponto fixo A e a peça que transmite deslocamento em C).
  • O cilindro tem altura vertical inicial igual ao seu diâmetro d_b=30\\ \text{mm}; portanto a variação térmica livre em altura do cilindro é \Delta L_{b,\text{livre}}=\alpha_b\Delta T_b\;d_b.
  • Áreas transversais dos dois elementos (para a mesma unidade, usar mm): A_b=\frac{\pi}{4}d_b^2,\qquad A_s=\frac{\pi}{4}d_s^2.Note que o fator \pi/4 cancela ao formar a razão A_b/A_s=(d_b/d_s)^2.
  • Hipóteses mecânicas: materiais lineares e elásticos (Lei de Hooke), pequenas rotações da barra rígida (pode-se usar aproximação \delta\approx\theta L para deslocamentos verticais), barra CDE rígida (logo deslocamentos verticais em D e C estão relacionados por rotação \theta), ausência de deslizamento entre cilindro e barra (contato perfeito), as forças internas atuam axialmente na barra de aço e no cilindro.

Passo 3

Escrever as leis físicas que vamos usar (aulas teóricas rápidas — o que cada fórmula significa):
  • Expansão térmica livre (uma “aula curta”): quando um corpo de comprimento L e coeficiente térmico \alpha sofre variação de temperatura \Delta T, sua variação de comprimento livre é \Delta L_{\text{livre}}=\alpha\,\Delta T\,L.Aqui o cilindro tenta aumentar sua altura inicial L=d_b em \Delta L_{b,\text{livre}}=\alpha_b\Delta T_b\,d_b.
  • Lei de Hooke (relações tensão-deformação): sob uma tensão axial uniforme \sigma num elemento de comprimento L e módulo E, a deformação axial é \varepsilon=\frac{\sigma}{E},e a variação de comprimento elástica (devido à tensão) é \Delta L_{\text{el}}=\varepsilon L=\frac{\sigma}{E}L.Para o cilindro, uma tensão compressiva \sigma_b reduz sua altura por \Delta L_{b,\text{el}}=\dfrac{\sigma_b}{E_b}d_b. Para a barra de aço, tensão (positiva = tração) \sigma_s alonga a barra por \Delta L_{s,\text{el}}=\dfrac{\sigma_s}{E_s}L_s.
  • Equilíbrio de forças internas (estática axial): a força axial gerada é igual em módulo no par barra–cilindro (tensão vezes área), F=\sigma_b A_b=\sigma_s A_s.Assim \sigma_s=\frac{A_b}{A_s}\,\sigma_b.

Passo 4

Compatibilidade de deslocamentos usando a barra rígida (aula de geometria pequena-rotação):
  • A barra rígida gira um pequeno ângulo \theta em torno do pivô E. O deslocamento vertical do ponto de apoio D (onde o cilindro empurra) é aproximadamente \delta_D=\theta L_1.
  • O deslocamento vertical do ponto C (onde passa a barra de aço) é \delta_C=\theta L_2.
  • O cilindro, se livre, tentaria aumentar sua altura em \Delta L_{b,\text{livre}}=\alpha_b\Delta T_b\,d_b, mas a presença da força de contato resulta numa redução elástica \Delta L_{b,\text{el}}=\dfrac{\sigma_b}{E_b}d_b. O deslocamento efetivo do topo do cilindro que contribui para levantar a barra é, portanto, \delta_D=\Delta L_{b,\text{livre}}-\Delta L_{b,\text{el}}=\alpha_b\Delta T_b\,d_b-\frac{\sigma_b}{E_b}d_b.
  • A barra rígida impõe que \delta_D e \delta_C estejam relacionados por rotação: \delta_D=\theta L_1 e \delta_C=\theta L_2. A deformação axial da barra de aço é exatamente o deslocamento relativo em C (a barra axial se alonga de acordo com o quanto o fu ro em C se afasta do ponto fixo A), logo \delta_C=\Delta L_{s,\text{el}}=\frac{\sigma_s}{E_s}L_s.
  • Substituindo \theta=\dfrac{\delta_C}{L_2} em \delta_D=\theta L_1 obtemos a relação de compatibilidade: \delta_D=\frac{L_1}{L_2}\,\delta_C.Agora substituímos as expressões: \alpha_b\Delta T_b\,d_b-\frac{\sigma_b}{E_b}d_b=\frac{L_1}{L_2}\cdot\frac{\sigma_s}{E_s}L_s.

Passo 5

Usar equilíbrio das forças para eliminar \sigma_s e isolar \sigma_b (passo algébrico explicado devagar):
  • Da etapa de equilíbrio temos \sigma_s=(A_b/A_s)\sigma_b. Inserindo isso na equação de compatibilidade: \alpha_b\Delta T_b\,d_b-\frac{\sigma_b}{E_b}d_b=\frac{L_1}{L_2}\cdot\frac{1}{E_s}L_s\cdot\frac{A_b}{A_s}\sigma_b.
  • Agrupando os termos que multiplicam \sigma_b no membro da direita / esquerdo: \alpha_b\Delta T_b\,d_b = \sigma_b\left(\frac{A_b L_s L_1}{A_s E_s L_2}+\frac{d_b}{E_b}\right).
  • Portanto a expressão geral para a tensão do cilindro (módulo) é \boxed{\displaystyle \sigma_b =\frac{\alpha_b\Delta T_b\,d_b} {\dfrac{A_b L_s L_1}{A_s E_s L_2}+\dfrac{d_b}{E_b}} }.Essa é a fórmula que dá a tensão compressiva no cilindro em função dos módulos E, coeficientes \alpha, diâmetro d_b, áreas A_b,A_s (que dependem dos diâmetros dados) e das dimensões geométricas L_1,L_2,L_s que vêm da figura.

Passo 6

Substituições práticas que faltam para obter um número (mostro como aplicar se os comprimentos forem conhecidos):
  • Razão de áreas (esta parte pode ser avaliada com os diâmetros fornecidos): \frac{A_b}{A_s}=\left(\frac{d_b}{d_s}\right)^2=\left(\frac{30}{22}\right)^2=\frac{225}{121}\approx1{,}8603.
  • Expansão térmica livre do cilindro (valor numérico usando os dados fornecidos): \Delta L_{b,\text{livre}}=\alpha_b\Delta T_b\,d_b =20{,}9\times10^{-6}\cdot30\cdot30\\ \text{(unidades mm)} \approx0{,}01881\\ \text{mm}.
  • Os módulos na mesma unidade (para trabalhar com \sigma em \text{N}/\text{mm}^2 = MPa): E_s=200\\ \text{GPa}=200000\\ \text{N}/\text{mm}^2,\qquad E_b=105\\ \text{GPa}=105000\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  • Com os valores acima, a única coisa que falta para calcular numericamente \sigma_b são as dimensões geométricas L_1,L_2,L_s vindas da figura original. Sem elas não é possível avaliar o termo \dfrac{A_b L_s L_1}{A_s E_s L_2} e, portanto, não dá para obter o valor numérico final.

Passo 7

Resumo didático do procedimento que se usa na prova (passos rápidos para aplicar quando a figura e os comprimentos forem dados):
  1. Calcule A_b e A_s a partir dos diâmetros.
  2. Calcule \Delta L_{b,\text{livre}}=\alpha_b\Delta T_b\,d_b.
  3. Monte a compatibilidade geométrica via rotação pequena: \delta_D=\theta L_1 e \delta_C=\theta L_2, com \delta_C=\dfrac{\sigma_s}{E_s}L_s e \delta_D=\Delta L_{b,\text{livre}}-\dfrac{\sigma_b}{E_b}d_b.
  4. Use equilíbrio \sigma_s=\dfrac{A_b}{A_s}\sigma_b.
  5. Resolva algebricamente para \sigma_b (chega-se à fórmula do Passo 5).
  6. Substitua números e obtenha \sigma_b em \text{N}/\text{mm}^2 (MPa). Se precisar da força F, use F=\sigma_b A_b.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão no cilindro com os dados fornecidos, porque faltam as dimensões geométricas vindas da figura (por exemplo L_1,\;L_2,\;L_s). A expressão geral obtida para a tensão compressiva no cilindro é:
\displaystyle \sigma_b =\frac{\alpha_b\Delta T_b\,d_b} {\dfrac{A_b L_s L_1}{A_s E_s L_2}+\dfrac{d_b}{E_b}}
onde A_b=\dfrac{\pi}{4}d_b^2 e A_s=\dfrac{\pi}{4}d_s^2.

Exercícios relacionados