Numa ETA, chega água bruta com \mathbf{p H} \boldsymbol{=} \mathbf{5 , 8}, alcalinidade (como \mathbf{C a C O}_{3} ) de 40 \mathbf{m g} / \mathbf{L}. Pretende-se elevar o \mathbf{p H} para \boldsymbol{\sim} \mathbf{7 , 5} usando cal \left(\mathbf{C a}(\mathbf{O H})_{\mathbf{2}}\right. ).
a) Calcule a quantidade de cal (em g por litro e total para 1.000 L ) necessária, considerando que cada mol de \mathrm{Ca}(\mathrm{OH})_{2} fornece dois mols de \mathrm{OH}^{-}.
b) Após a correção, qual será a alcalinidade aproximada da água (assuma que todo \mathrm{OH}^{-} adicionado reage até neutralizar \mathrm{H}^{+}e qualquer excesso contribui para alcalinidade permanente)?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
  • Dados do enunciado:
    • pH inicial: \,5{,}8.
    • pH desejado: \sim 7{,}5.
    • Alcalinidade inicial (expressa como \mathrm{CaCO}_3): 40\\ \mathrm{mg/L}.
    • Reagente: cal hidratada \mathrm{Ca(OH)}_2. Observação dada: cada mol de \mathrm{Ca(OH)}_2 fornece dois mols de \mathrm{OH}^-.
    • Volume a corrigir: 1{.}000\\ \mathrm{L} (para calcular total).
  • O que o exercício pede:
    a) Calcular a quantidade de cal necessária:
    • em \mathrm{g/L};
    • total para 1{.}000\\ \mathrm{L}.
      b) Depois da correção, estimar a alcalinidade aproximada da água (assumir que todo \mathrm{OH}^- adicionado reage até neutralizar \mathrm{H}^+ e que qualquer excesso de \mathrm{OH}^- passa a contribuir para a alcalinidade permanente).

Passo 2

Plano de resolução (passo-a-passo que vou seguir):
  • Calcular as concentrações de \mathrm{H}^+ correspondentes a \mathrm{pH}=5{,}8 e \mathrm{pH}=7{,}5.
  • Determinar a diferença de molaridade de \mathrm{H}^+ que precisa ser neutralizada por \mathrm{OH}^-.
  • Converter essa necessidade de \mathrm{OH}^- em mols de \mathrm{Ca(OH)}_2 (cada mol de \mathrm{Ca(OH)}_2 gera 2 mols \mathrm{OH}^-) e em massa usando a massa molar do \mathrm{Ca(OH)}_2.
  • Multiplicar por 1{.}000 para obter o total para 1{.}000\\ \mathrm{L}.
  • Usar a regra dada para a alcalinidade: o \mathrm{OH}^- adicionado primeiro neutraliza \mathrm{H}^+; se não sobra \mathrm{OH}^-, a alcalinidade (em \mathrm{mg/L} como \mathrm{CaCO}_3) permanece aproximadamente a mesma; se sobrar, converter esse excesso para equivalente em \mathrm{mg/L} como \mathrm{CaCO}_3.
Vou trabalhar com as constantes necessárias:
  • Massa molar aproximada do \mathrm{Ca(OH)}_2: \,M_{\mathrm{Ca(OH)}_2}=74{,}09\\ \mathrm{g/mol}.
  • Para conversões de alcalinidade: massa molar do \mathrm{CaCO}_3 é \,M_{\mathrm{CaCO}_3}\approx100{,}09\\ \mathrm{g/mol}, e o peso equivalente de \mathrm{CaCO}_3 (uma equivalência em termos de carga) é \approx50{,}045\\ \mathrm{g/eq}. Vou usar isso se for necessário converter excesso de base em mg/L como \mathrm{CaCO}_3.

Passo 3

Converter pH em concentração de \mathrm{H}^+:
  • Fórmula: \,[\mathrm{H}^+]=10^{-\mathrm{pH}}.
Calcular [\mathrm{H}^+] inicial:
[\mathrm{H}^+]_{\text{inicial}} = 10^{-5{,}8} \approx 1{,}584893\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/L}.
Calcular [\mathrm{H}^+] final desejado:
[\mathrm{H}^+]_{\text{final}} = 10^{-7{,}5} \approx 3{,}162278\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol/L}.
Explicação didática rápida (por que faço isso): pH é a escala logarítmica da concentração de íons hidrogênio; para neutralizar a água até uma nova pH precisamos diminuir a concentração de \mathrm{H}^+ até o valor correspondente ao pH alvo. Cada mol de \mathrm{OH}^- neutraliza 1 mol de \mathrm{H}^+.

Passo 4

Calcular a quantidade de \mathrm{H}^+ a ser neutralizada por litro:
\Delta[\mathrm{H}^+] = [\mathrm{H}^+]_{\text{inicial}} - [\mathrm{H}^+]_{\text{final}} = 1{,}584893\times 10^{-6} - 3{,}162278\times 10^{-8} \approx 1{,}553270\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/L}.
Interpretação: são \approx 1{,}553\times 10^{-6} mol de \mathrm{H}^+ por litro que devem ser neutralizados para que o pH passe de 5{,}8 para 7{,}5.

Passo 5

Converter a necessidade de \mathrm{H}^+ em necessidade de \mathrm{OH}^-:
  • Cada mol de \mathrm{OH}^- neutraliza 1 mol de \mathrm{H}^+.
  • Logo, quantidade de \mathrm{OH}^- necessária por litro é
n_{\mathrm{OH}^-} = \Delta[\mathrm{H}^+] \approx 1{,}553270\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/L}.
Agora, relação com \mathrm{Ca(OH)}_2:
  • Cada mol de \mathrm{Ca(OH)}_2 fornece 2 mols de \mathrm{OH}^-.
  • Portanto, mol de \mathrm{Ca(OH)}_2 necessário por litro é
n_{\mathrm{Ca(OH)}_2}=\frac{n_{\mathrm{OH}^-}}{2} =\frac{1{,}553270\times 10^{-6}}{2} \approx 7{,}766350\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 6

Converter mols de \mathrm{Ca(OH)}_2 em massa (g/L):
m_{\mathrm{Ca(OH)}_2\\ (\mathrm{g/L})} = n_{\mathrm{Ca(OH)}_2}\cdot M_{\mathrm{Ca(OH)}_2} \approx 7{,}766350\times 10^{-7}\cdot 74{,}09 \approx 5{,}7543\times 10^{-5}\\ \mathrm{g/L}.
Resultado por litro: aproximadamente \,5{,}75\times 10^{-5}\\ \mathrm{g/L}.
Para 1{.}000\\ \mathrm{L} (multiplicar por 1{.}000):
\text{massa total} \approx 5{,}7543\times 10^{-5}\times 1{.}000 =5{,}7543\times 10^{-2}\\ \mathrm{g}\approx 0{,}0575\\ \mathrm{g}.
Comentário didático: esse valor é extremamente pequeno — por quê? Porque a concentração de \mathrm{H}^+ em água com pH na faixa 5{,}8 é já muito baixa em termos de molaridade (ordem de 10^{-6} mol/L). Neutralizar apenas os íons livres \mathrm{H}^+ requer pouca base. Na prática de tratamento de água, no entanto, a maior parte do “trabalho” para aumentar pH vem do sistema tampão (alcalinidade, dióxido de carbono dissolvido, equilíbrio bicarbonato/carbonato), que costuma exigir muito mais cal do que o que se estima apenas neutralizando \mathrm{H}^+ livres. Mas o enunciado mandou seguir a regra: primeiro neutralizar \mathrm{H}^+ e só o excesso vira alcalinidade — então usei essa regra estrita.

Passo 7

Determinar a alcalinidade aproximada após correção (parte b):
  • Pelo enunciado, todo \mathrm{OH}^- adicionado primeiro neutraliza \mathrm{H}^+. Se não sobra \mathrm{OH}^- em excesso, não há acréscimo de alcalinidade permanente.
  • No nosso cálculo adicionamos exatamente a quantidade de \mathrm{OH}^- necessária para atingir \mathrm{pH}=7{,}5, sem deixar excesso significativo de \mathrm{OH}^-.
  • Portanto, a alcalinidade expressa como \mathrm{mg/L} de \mathrm{CaCO}_3 permanece aproximadamente igual à inicial:
\text{alcalinidade final (aprox.)} \approx 40\\ \mathrm{mg/L\\ (as\\ CaCO_3)}.
Observação didática sobre conversões (útil se houvesse excesso): para transformar moles de excesso de \mathrm{OH}^- em \mathrm{mg/L} como \mathrm{CaCO}_3 usa-se que 1\\ \text{eq} corresponde a 50{,}045\\ \mathrm{g\\ CaCO_3}. Assim, excesso de \mathrm{OH}^- (em mol/L) multiplicado por 1{.}000 para mmol e por 50{,}045 g/eq dará mg/L como \mathrm{CaCO}_3. Neste caso não há excesso, então não é necessário aplicar a conversão.

Resposta

a) 5{,}75\times 10^{-5}\\ \mathrm{g/L} ; 5{,}75\times 10^{-2}\\ \mathrm{g} (para 1{.}000\\ \mathrm{L}).
b) Alcalinidade aproximada após correção: 40\\ \mathrm{mg/L} (como \mathrm{CaCO}_3).

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