O etano, \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}, forma radicais \bullet \mathrm{CH}_{3} a 700^{\circ} \mathrm{C} em uma reação de primeira ordem, cujo tempo de meia-vida é de 0,35 \mathrm{~h}.
(a) Determine o tempo necessário para que a quantidade do etano caia de 1,70 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} até 1,18 \times 10^{-4} \mathrm{~mol} em um balão reacional de 250 \mathrm{~mL}, 700^{\circ} \mathrm{C} .(\mathrm{t}=1,35 \mathrm{~h})
(b) Quanto restará (em miligramas) de uma amostra de 3,44 \mathrm{mg} de etano nesse mesmo balão reacional, a temperatura de 700^{\circ} \mathrm{C}, após 45 minutos? ( \mathrm{m}=0,78 \mathrm{mg} )

Passo 1

O enunciado trata da decomposição de etano \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6 em radicais metila a 700^\circ\mathrm{C} por cinética de primeira ordem, com tempo de meia-vida \,t_{1/2}=0,35\:\mathrm{h}. Precisamos usar a relação entre o tempo de meia-vida e a constante de velocidade k, e então aplicar a lei de decaimento de primeira ordem
n(t)=n_0\,e^{-k\,t}
para determinar em (a) o tempo necessário para cair de 1,70\times10^{-3}\:\mathrm{mol} a 1,18\times10^{-4}\:\mathrm{mol}, e em (b) a massa remanescente após 45\:\mathrm{min} de uma amostra inicial de 3,44\:\mathrm{mg}.

Passo 2

A relação entre meia-vida e constante de velocidade em reação de primeira ordem é
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Substituindo t_{1/2}=0,35\:\mathrm{h} obtemos
k = \frac{0,693}{0,35\:\mathrm{h}} \approx 1,98\:\mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Para (a), aplicamos
n(t)=n_0\,e^{-k\,t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{n(t)}{n_0}=e^{-k\,t} \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\biggl(\frac{n(t)}{n_0}\biggr).
Com n_0=1,70\times10^{-3}\:\mathrm{mol} e n(t)=1,18\times10^{-4}\:\mathrm{mol},
t = -\frac{1}{1,98}\ln\!\biggl(\frac{1,18\times10^{-4}}{1,70\times10^{-3}}\biggr) \approx 1,35\:\mathrm{h}.

Passo 4

Para (b), o mesmo decaimento se aplica à massa:
m(t)=m_0\,e^{-k\,t}.
Aqui m_0=3,44\:\mathrm{mg}, t=45\:\mathrm{min}=0,75\:\mathrm{h} e k=1,98\:\mathrm{h}^{-1}, logo
m(0,75)=3,44\,e^{-1,98\times0,75} \approx 0,78\:\mathrm{mg}.

Resposta

(a) t = 1,35\:\mathrm{h}
(b) m = 0,78\:\mathrm{mg}

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