Considere um coletor solar de placa plana usado para aquecer água. A água passa através de tubos presos na parte de trás da fina placa solar. A placa coletora tem uma emissividade e uma absortividade de 0,9 . A temperatura da superfície superior ( \mathrm{x}=0 ) da placa é \mathrm{T}_{0}=35^{\circ} \mathrm{C}, e a radiação solar incide sobre a placa com um fluxo de calor \dot{q}_{\text {solar }} de 500 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}, a uma temperatura ambiente de 0^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do absorvedor é de 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, enquanto a temperatura ambiente é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Mostre que a variação da temperatura na placa coletora pode ser expressa por T(x)=-\left(\frac{\dot{q}_{0}}{k}\right) x+T_{0} e determine o fluxo de calor líquido \left(\dot{q}_{0}\right) absorvido pelo coletor solar. R. 224 W / m^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Atenção: o enunciado menciona duas temperaturas “ambiente” diferentes; vou explicar como interpreto isso (se não concordar, me avisa, mas essa é a interpretação usual em problemas de coletores solares).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Absorvidade e emissividade: \alpha=\varepsilon=0{,}9.
  • Temperatura da superfície superior (em x=0): \,T_0=35^\circ\mathrm{C}.
  • Fluxo de radiação solar incidente: \dot{q}_{\text{solar}}=500\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Coeficiente de convecção na superfície: h=5\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • O enunciado citou uma temperatura ambiente igual a 0^\circ\mathrm{C} e também mencionou 25^\circ\mathrm{C}. Vou assumir a interpretação comum em problemas de radiação solar:
    • temperatura efetiva do céu (usada na troca radiativa): T_{\text{sky}}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K};
    • temperatura do ar para a convecção: T_{\text{amb}}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
      (Se a intenção fosse outra, precisa esclarecer.)
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2K^4)}.
  • Não foi dado k (condutividade térmica) nem a espessura da placa; o enunciado pede apenas mostrar a forma da variação da temperatura e determinar o fluxo de calor líquido \dot q_0 absorvido pelo coletor (fluxo que entra na placa e segue para os tubos).
O que o enunciado pede:
  1. Mostrar que a variação da temperatura na placa pode ser escrita como \displaystyle T(x)=-\Bigl(\frac{\dot q_0}{k}\Bigr)x+T_0.
  2. Determinar numericamente o fluxo de calor líquido \dot q_0 absorvido pelo coletor (esperado: \,224\\ \mathrm{W/m^2}).

Passo 2

Entendendo a física e as equações básicas (pequula “aula” prática).
  • Modelo físico: placa fina, estado estacionário (temperatura não varia no tempo), fluxo de calor unidimensional através da espessura (variável x medida a partir da superfície superior x=0 para dentro da placa). Não há geração interna de calor na placa (o calor entra na superfície superior e é levado para os tubos na parte de trás).
  • Lei de Fourier (1D) relaciona fluxo de calor por condução \dot q_x com o gradiente de temperatura: \dot q_x = -k\,\frac{dT}{dx},onde k é a condutividade térmica da placa (unidades \mathrm{W/(m\cdot K)}), e o sinal negativo indica que o calor flui na direção de decrescimento da temperatura.
  • Em regime estacionário e sem geração interna, o fluxo de calor por condução é constante através da espessura, ou seja \frac{d}{dx}\bigl(\dot q_x\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad \dot q_x=\text{constante}=\dot q_0,onde \dot q_0 é o fluxo de calor que entra na placa pela face superior e é conduzido para os tubos (fluxo líquido absorvido pelo coletor).

Passo 3

Derivação da forma linear da temperatura na placa.
  • Partindo de Fourier e da constância do fluxo: \dot q_0 = -k\,\frac{dT}{dx}.
  • Isolando o derivado e integrando em x: \frac{dT}{dx} = -\frac{\dot q_0}{k} \quad\Rightarrow\quad \int dT = -\frac{\dot q_0}{k}\int dx
\Rightarrow\qquad T(x) = -\Bigl(\frac{\dot q_0}{k}\Bigr) x + C,
onde C é constante de integração.
  • Usando a condição de contorno dada T(0)=T_0, obtém-se C=T_0. Portanto: \boxed{\;T(x) = -\Bigl(\frac{\dot q_0}{k}\Bigr)\,x + T_0\;},que é exatamente a expressão pedida. Aqui ficou explícito o papel de \dot q_0 e de k: a inclinação da temperatura depende de \dot q_0/k.

Passo 4

Balanço de energia na superfície superior para determinar \dot q_0.
  • No equilíbrio estacionário, a potência absorvida da radiação solar pela superfície é dissipada por três “saídas”:
    1. perda convectiva para o ar: \displaystyle \dot q_{\text{conv}} = h\bigl(T_0 - T_{\text{amb}}\bigr);
    2. perda radiativa para o céu: \displaystyle \dot q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\bigl(T_0^4 - T_{\text{sky}}^4\bigr) (as temperaturas devem estar em kelvin);
    3. fluxo conduzido para dentro da placa (e levado pelos tubos): \dot q_0.
  • A potência solar absorvida pela superfície é \displaystyle \dot q_{\text{abs}}=\alpha\,\dot q_{\text{solar}}.
  • Equação de balanço: \alpha\,\dot q_{\text{solar}} = h\bigl(T_0 - T_{\text{amb}}\bigr) + \varepsilon\,\sigma\bigl(T_0^4 - T_{\text{sky}}^4\bigr) + \dot q_0.
  • Isolando \dot q_0: \dot q_0 = \alpha\,\dot q_{\text{solar}} - h\bigl(T_0 - T_{\text{amb}}\bigr) - \varepsilon\,\sigma\bigl(T_0^4 - T_{\text{sky}}^4\bigr).

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (conversões e valores).
  • Converter temperaturas para kelvin: T_0 = 35^\circ\mathrm{C} = 308{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{amb}} = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{sky}} = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro termo: potência solar absorvida \alpha\,\dot q_{\text{solar}} = 0{,}9\times 500 = 450\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Segundo termo: convecção h\bigl(T_0 - T_{\text{amb}}\bigr) = 5\cdot(35-25)=5\cdot 10 = 50\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Terceiro termo: radiação (usar \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2K^4)})
    • Calcular \;T_0^4 - T_{\text{sky}}^4\;. Usando álgebra útil: T_0^4 - T_{\text{sky}}^4 = (T_0^2-T_{\text{sky}}^2)\,(T_0^2+T_{\text{sky}}^2).Numéricamente (valores em K): T_0^2 = 308{,}15^2 \approx 94\,956{,}4225,\qquad T_{\text{sky}}^2 = 273{,}15^2 \approx 74\,610{,}9225,
T_0^2 - T_{\text{sky}}^2 = 20\,345{,}5,\qquad T_0^2 + T_{\text{sky}}^2 \approx 169\,567{,}345,
T_0^4 - T_{\text{sky}}^4 \approx 20\,345{,}5\times 169\,567{,}345 \approx 3{,}449933219\times 10^{9}\\ \mathrm{K^4}.
  • Agora a perda radiativa: \varepsilon\,\sigma\bigl(T_0^4 - T_{\text{sky}}^4\bigr) \approx 0{,}9\times 5{,}670374\times10^{-8}\times 3{,}449933219\times10^{9}.Multiplicando: \varepsilon\,\sigma\bigl(T_0^4 - T_{\text{sky}}^4\bigr)\approx 176{,}05\\ \mathrm{W/m^2}.(Arredondando, \approx 176\\ \mathrm{W/m^2}.)
  • Somando as perdas convectiva + radiativa: 50 + 176{,}05 = 226{,}05\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Finalmente, \dot q_0: \dot q_0 = 450 - 226{,}05 \approx 223{,}95\\ \mathrm{W/m^2}\approx 224\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 6

Interpretação e dica prática para prova.
  • A expressão linear \displaystyle T(x)=-\Bigl(\frac{\dot q_0}{k}\Bigr)x+T_0 vem direto da constância do fluxo de condução e da lei de Fourier; é uma conta curtinha na prova: lembrar que sem geração interna a segunda derivada é zero.
  • O valor numérico de \dot q_0 exige fazer o balanço energético na superfície: potência solar absorvida menos perdas convectiva e radiativa. Lembre de converter temperaturas para kelvin na conta da radiação e de usar a absorvidade \alpha multiplicando o fluxo solar incidente.

Resposta

T(x)=-\Bigl(\dfrac{\dot q_0}{k}\Bigr)x+T_0
\dot q_0 \approx 224\\ \mathrm{W/m^2}

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