Considere um coletor solar de placa plana usado para aquecer água. A água passa através de tubos presos na parte de trás da fina placa solar. A placa coletora tem uma emissividade e uma absortividade de 0,9 . A temperatura da superfície superior (
) da placa é
, e a radiação solar incide sobre a placa com um fluxo de calor
de 500
, a uma temperatura ambiente de
. O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do absorvedor é de
, enquanto a temperatura ambiente é de
. Mostre que a variação da temperatura na placa coletora pode ser expressa por
e determine o fluxo de calor líquido
absorvido pelo coletor solar. R.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Atenção: o enunciado menciona duas temperaturas “ambiente” diferentes; vou explicar como interpreto isso (se não concordar, me avisa, mas essa é a interpretação usual em problemas de coletores solares).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Absorvidade e emissividade:
. - Temperatura da superfície superior (em
): - Fluxo de radiação solar incidente:
- Coeficiente de convecção na superfície:
- O enunciado citou uma temperatura ambiente igual a
e também mencionou . Vou assumir a interpretação comum em problemas de radiação solar: - temperatura efetiva do céu (usada na troca radiativa):
; - temperatura do ar para a convecção:
(Se a intenção fosse outra, precisa esclarecer.)
- temperatura efetiva do céu (usada na troca radiativa):
- Constante de Stefan–Boltzmann:
. - Não foi dado
(condutividade térmica) nem a espessura da placa; o enunciado pede apenas mostrar a forma da variação da temperatura e determinar o fluxo de calor líquido absorvido pelo coletor (fluxo que entra na placa e segue para os tubos).
O que o enunciado pede:
- Mostrar que a variação da temperatura na placa pode ser escrita como
- Determinar numericamente o fluxo de calor líquido
absorvido pelo coletor (esperado: ).
Passo 2
Entendendo a física e as equações básicas (pequula “aula” prática).
- Modelo físico: placa fina, estado estacionário (temperatura não varia no tempo), fluxo de calor unidimensional através da espessura (variável
medida a partir da superfície superior para dentro da placa). Não há geração interna de calor na placa (o calor entra na superfície superior e é levado para os tubos na parte de trás). - Lei de Fourier (1D) relaciona fluxo de calor por condução
com o gradiente de temperatura: onde é a condutividade térmica da placa (unidades ), e o sinal negativo indica que o calor flui na direção de decrescimento da temperatura. - Em regime estacionário e sem geração interna, o fluxo de calor por condução é constante através da espessura, ou seja
onde é o fluxo de calor que entra na placa pela face superior e é conduzido para os tubos (fluxo líquido absorvido pelo coletor).
Passo 3
Derivação da forma linear da temperatura na placa.
- Partindo de Fourier e da constância do fluxo:
- Isolando o derivado e integrando em
:
onde
é constante de integração.
- Usando a condição de contorno dada
, obtém-se . Portanto: que é exatamente a expressão pedida. Aqui ficou explícito o papel de e de : a inclinação da temperatura depende de .
Passo 4
Balanço de energia na superfície superior para determinar
.
- No equilíbrio estacionário, a potência absorvida da radiação solar pela superfície é dissipada por três “saídas”:
- perda convectiva para o ar:
; - perda radiativa para o céu:
(as temperaturas devem estar em kelvin); - fluxo conduzido para dentro da placa (e levado pelos tubos):
.
- perda convectiva para o ar:
- A potência solar absorvida pela superfície é
- Equação de balanço:
- Isolando
:
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo (conversões e valores).
- Converter temperaturas para kelvin:
- Primeiro termo: potência solar absorvida
- Segundo termo: convecção
- Terceiro termo: radiação (usar
) - Calcular
. Usando álgebra útil: Numéricamente (valores em K):
- Calcular
- Agora a perda radiativa:
Multiplicando: (Arredondando, .) - Somando as perdas convectiva + radiativa:
- Finalmente,
:
Passo 6
Interpretação e dica prática para prova.
- A expressão linear
vem direto da constância do fluxo de condução e da lei de Fourier; é uma conta curtinha na prova: lembrar que sem geração interna a segunda derivada é zero. - O valor numérico de
exige fazer o balanço energético na superfície: potência solar absorvida menos perdas convectiva e radiativa. Lembre de converter temperaturas para kelvin na conta da radiação e de usar a absorvidade multiplicando o fluxo solar incidente.