Um tubo em uma fábrica transporta vapor superaquecido a uma taxa de fluxo de massa de 0,3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O tubo tem 10 m de comprimento, 5 cm de diâmetro interno e espessura da parede de 6 mm e condutividade térmica de 17 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, com temperatura uniforme na superfície interna de 120^{\circ} \mathrm{C}. A queda de temperatura entre a entrada e a saída do tubo é de 7^{\circ} \mathrm{C}, e o calor específico em pressão constante do vapor é 2.190 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}. Considerando que a temperatura do ar na fábrica é de 25^{\circ} \mathrm{C}, (a) determine o coeficiente de transferência de calor como resultado da convecção entre a superfície externa do tubo e o ar no entorno e, (b) a temperatura superficial externo do tubo.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície externa do tubo e o ar ambiente (isto é, h).
  • (b) Determinar a temperatura da superfície externa do tubo ( T_o).
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
  • Vazão mássica: \dot{m}=0,3\\ \mathrm{kg/s}.
  • Comprimento do tubo: L=10\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno: D_i=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede: t=6\\ \mathrm{mm}=0,006\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material da parede: k=17\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • Temperatura uniforme na superfície interna: T_i=120^\circ\mathrm{C}.
  • Queda de temperatura do vapor entre entrada e saída: \Delta T_\text{fluido}=7^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico a pressão constante do vapor: c_p=2190\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
Quantidades geométricas que vamos usar (a calcular):
  • Raio interno: r_i=\dfrac{D_i}{2}.
  • Raio externo: r_o=r_i+t.
  • Área externa do tubo: A_o=2\pi r_o L.

Passo 2

Calcular o fluxo de calor total removido do fluido usando balanço de energia (aqui não preciso da distribuição ao longo do tubo, apenas da energia total):
  • Fórmula usada: \displaystyle Q=\dot{m}\,c_p\,\Delta T_\text{fluido}.
  • Substituindo os valores:
Q = 0,3\cdot 2190\cdot 7.
  • Cálculo:
Q = 4599\\ \mathrm{W}.
Explicação didática: esta é a energia por segundo (potência) que o vapor perde ao longo dos 10\\ \mathrm{m}. O produto \dot{m}c_p dá a capacidade térmica mássica (J/K·s) e multiplicando pela variação de temperatura obtém-se a potência térmica removida.

Passo 3

Determinar as dimensões relevantes do tubo:
  • Raio interno:
r_i=\dfrac{D_i}{2}=\dfrac{0,05}{2}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo:
r_o=r_i+t=0,025+0,006=0,031\\ \mathrm{m}.
  • Área externa:
A_o=2\pi r_o L=2\pi(0,031)(10)=0,62\pi\approx 1,9478\\ \mathrm{m^2}.
Comentário: a área externa é a área lateral do cilindro (por onde ocorre a convecção).

Passo 4

Modelo térmico e resistências: explicar a cadeia térmica do calor do fluido até o ar ambiente.
  • O calor sai do fluido e atravessa a superfície interna (que é mantida a T_i), atravessa a parede do tubo por condução radial e, por fim, é rejeitado ao ar por convecção na superfície externa. Em regime estacionário, a mesma potência Q atravessa cada etapa, então podemos usar resistências térmicas em série.
  • Resistência à condução radial na parede cilíndrica (entre superfícies interna e externa), para comprimento L:
R_\text{cond}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k L}.
Aqui:
  • r_i,\\ r_o são os raios interno e externo,
  • k é a condutividade térmica da parede,
  • L é o comprimento do tubo.
  • Resistência à convecção na superfície externa:
R_\text{conv}=\dfrac{1}{h\,A_o},
onde h é o coeficiente de convecção que queremos e A_o é a área externa.
Relações úteis (energia):
Q=\dfrac{T_i-T_o}{R_\text{cond}} \qquad\text{(condução entre \(T_i\) e \(T_o\))},çã
Q=h A_o (T_o-T_\infty) \qquad\text{(convecção entre \(T_o\) e \(T_\infty\))}.çã
Estratégia: conhecemos Q (do Passo 2). Usamos a relação de condução para obter T_o. Em seguida usamos a relação da convecção para obter h.

Passo 5

Calcular a resistência à condução e a temperatura da superfície externa T_o:
  • Primeiro aplicamos a fórmula de R_\text{cond}:
R_\text{cond}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k L} =\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0,031}{0,025}\right)}{2\pi\cdot 17\cdot 10}.
  • Calculemos passo a passo:
\ln\!\left(\dfrac{0,031}{0,025}\right)=\ln(1,24)\approx 0,215111.
2\pi k L = 2\pi\cdot 17\cdot 10 \approx 1068,1415.
R_\text{cond}\approx \dfrac{0,215111}{1068,1415}\approx 2,01396\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.
  • Agora a temperatura externa T_o vem de
Q=\dfrac{T_i-T_o}{R_\text{cond}} \quad\Rightarrow\quad T_o=T_i - Q\,R_\text{cond}.
  • Substituindo Q=4599\\ \mathrm{W}, T_i=120^\circ\mathrm{C} e R_\text{cond} calculado:
T_o = 120 - 4599\cdot (2,01396\times 10^{-4}) \approx 120 - 0,9262 \approx 119,0738^\circ\mathrm{C}.
Explicação didática: a queda de temperatura através da parede é pequena porque a resistência de condução é muito baixa (parede relativamente delgada e condutividade alta), por isso T_o fica muito próxima de T_i.

Passo 6

Calcular o coeficiente de convecção h usando a equação da convecção:
  • Fórmula:
Q=h\,A_o\,(T_o-T_\infty) \quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{Q}{A_o\,(T_o-T_\infty)}.
  • Substituindo Q=4599\\ \mathrm{W}, A_o\approx 1,9478\\ \mathrm{m^2}, T_o\approx 119,0738^\circ\mathrm{C} e T_\infty=25^\circ\mathrm{C}:
\Delta T_{\text{conv}}=T_o-T_\infty \approx 119,0738-25=94,0738\\ \mathrm{K}.
h \approx \dfrac{4599}{1,9478\cdot 94,0738}\approx \dfrac{4599}{183,2357}\approx 25,09\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
Interpretação: este valor de h (da ordem de 10^1\\ \mathrm{W/(m^2K)}) está na faixa típica para convecção natural/forçada em ar ao redor de tubos, dependendo do regime de fluxo do ar. Aqui obtivemos h consistente com o balanço energético dado.

Passo 7

Verificação rápida de consistência e unidades:
  • Q em \mathrm{W} e produto hA_o\Delta T também em \mathrm{W} — unidades consistentes.
  • A pequena queda de temperatura através da parede confirma que a maior queda térmica ocorre entre a superfície externa e o ar (a resistência convectiva domina sobre a de condução).

Resposta

h \approx 25,1\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}
T_o \approx 119,07^\circ\mathrm{C}

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