Etapa 2 - Análise de financiamento

Para o projeto escolhido na Etapa 1 e considerando que o projeto escolhido será financiado em cinco anos, com taxa de 10 \% a.a., calcule o valor da parcela anual do financiamento utilizando o sistema Price.

Passo 1

O enunciado pede o valor da parcela anual do financiamento do projeto escolhido, considerando que o financiamento será em cinco anos e a taxa é de 10\% a.a., usando o sistema Price. Informações fornecidas pelo enunciado: duração n=5 anos e taxa nominal anual 10\%. Informação que falta e é necessária para obter um valor numérico da parcela: o valor do financiamento (valor presente do empréstimo), que chamarei de P (este valor seria o custo do projeto indicado na Etapa 1). Como o enunciado referencia a Etapa 1 e você não me deu o valor P, não é possível fornecer um número absoluto da parcela sem essa informação. Ainda assim, posso derivar a fórmula passo a passo, calcular o fator multiplicador numérico (para aplicar a P) e mostrar como montar a tabela de amortização — assim você só precisa substituir P pelo valor do seu projeto para obter a parcela.

Passo 2

O que é o sistema Price (explicação didática): no sistema Price (também chamado de sistema francês de amortização) a parcela anual A é constante durante todo o período. Cada parcela contém duas partes: juros sobre o saldo devedor e amortização do principal. O saldo devedor cai a cada pagamento porque a amortização reduz o principal. Para calcular A usamos a condição de que o valor presente das n parcelas A descontadas à taxa i deve ser igual ao principal P.
Definição das variáveis que usaremos:
P = \text{valor do financiamento (principal)},
A = \text{parcela anual (o que queremos achar)},
i = \text{taxa de juros anual (em forma decimal)},
n = \text{número de parcelas (anos)}.ú
No nosso caso: i=0,10 e n=5.

Passo 3

Montando a equação do valor presente: o valor presente de uma série de n parcelas anuais A descontadas a i é a soma
P = A\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}.
Aqui cada termo (1+i)^{-k} é o fator de desconto da parcela que será paga no ano k. A soma \sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k} é uma série geométrica decrescente. A fórmula fechada dessa soma é conhecida e é
\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
(Se quiser ver a derivação rápida: seja S=\sum_{k=1}^{n}q^{k} com q=(1+i)^{-1}. Então S=q\frac{1-q^{n}}{1-q}. Substituindo q=(1+i)^{-1} e simplificando chega-se à expressão acima.)

Passo 4

Usando a expressão da soma, obtemos a fórmula do valor presente:
P = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Agora isolamos A:
A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Esta é a fórmula geral do sistema Price: ela diz que a parcela constante A é o principal multiplicado por um fator que depende só de i e n.

Passo 5

Agora substituímos os valores dados i=0,10 (ou seja 10\%) e n=5. Primeiro calculemos (1+i)^n:
(1+i)^n = (1,10)^5.
Calculando passo a passo (para você poder reproduzir sem calculadora, normalmente usa-se uma calculadora para potências; aqui dou os valores numéricos com precisão razoável):
(1,10)^2 = 1,21,
(1,10)^3 = 1,331,
(1,10)^4 = 1,4641,
(1,10)^5 = 1,61051.

Passo 6

Agora o termo (1+i)^{-n} é o inverso de 1,61051:
(1+i)^{-n} = \frac{1}{1,61051}\approx 0,620921.
Em seguida calculemos 1-(1+i)^{-n}:
1-(1+i)^{-n} \approx 1-0,620921 = 0,379079.
Finalmente o fator \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} fica:
\frac{i}{1-(1+i)^{-n}} = \frac{0,10}{0,379079}\approx 0,263797.

Passo 7

Portanto a parcela anual A em função do principal P é
A = P\cdot 0,263797\quad(\text{aproximadamente}).
Isto significa que para obter a parcela numérica você multiplica o valor do seu projeto P por 0,263797. Exemplo ilustrativo (apenas para ver como aplicar): se P=R\$100{.}000, então
A \approx 100{.}000\times 0,263797 = R\$26{.}379,70.

Passo 8

Como usar A para construir a tabela de amortização (passo a passo para a prova):
  • Juros do primeiro ano: \text{Juros}_1 = P\cdot i.
  • Amortização do primeiro ano: \text{Amortização}_1 = A - \text{Juros}_1çã.
  • Saldo após o pagamento 1: P_1 = P - \text{Amortização}_1çã.
  • Repetir para o ano k: \text{Juros}_k = P_{k-1}\cdot i, \text{Amortização}_k = A - \text{Juros}_kçã, P_k = P_{k-1} - \text{Amortização}_kçã.
    Isso gera o cronograma completo e mostra como a parcela constante é dividida entre juros decrescentes e amortizações crescentes.

Passo 9

Resumo prático: você não precisa refazer derivações na prova se souber a fórmula, mas é bom saber de onde vem (soma geométrica). Quando souber P da Etapa 1, basta multiplicar por 0,263797 para obter a parcela anual aproximada. Força aí — se me disser o valor P eu já te retorno o número exato da parcela e a tabela de amortização detalhada.

Resposta

A = 0,263797\cdot P

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